Em cada um dos itens abaixo, determine a área da região compreendida entre o gráfico da função
e o eixo
:
, para
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta quer saber qual é a área entre o gráfico da função
e o eixo
no intervalo de
até
. Para isso, vamos usar Cálculo Integral, que nos ajuda a encontrar áreas sob curvas.
Passo 2
Primeiro, precisamos ver onde a função cruza o eixo
, ou seja, onde
. Isso vai nos ajudar a saber se a função está acima ou abaixo do eixo nesse intervalo.
Então, resolvendo
:
Resolvendo a equação quadrática:
Portanto, os pontos onde a função cruza o eixo
são
,
e
.
Passo 3
Agora, vamos analisar o sinal da função em cada intervalo:
- Para
, peguemos :
- Para
, peguemos :
Então, a função está acima do eixo
de
a
e abaixo de
a
.
Passo 4
Vamos calcular a área em cada intervalo separadamente e depois somar:
- De
a :
Integrando:
Calculando entre
e
:
- De
a :
Integrando:
Como formamos o valor absoluto:
Resposta
A área total entre o gráfico da função
e o eixo
no intervalo de
a
é
unidades de área.
Exercícios relacionados
Se
é uma função contínua e não negativa em
, então a integral
é exatamente a área da região abaixo do gráfico de
e acima do eixo
. Em cada um dos itens abaixo, faça o gráfico da função no intervalo em que ocorre a integração para, em seguida, calcular essa integral.
Encontre o valor de
, para
Determine a derivada das funções dada.
Determine a derivada das funções dada.