Em cada um dos itens abaixo, determine a área da região compreendida entre o gráfico da função e o eixo :
, para ;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta quer saber qual é a área entre o gráfico da função e o eixo no intervalo de até . Para isso, vamos usar Cálculo Integral, que nos ajuda a encontrar áreas sob curvas.

Passo 2

Primeiro, precisamos ver onde a função cruza o eixo , ou seja, onde . Isso vai nos ajudar a saber se a função está acima ou abaixo do eixo nesse intervalo.
Então, resolvendo :
Resolvendo a equação quadrática:
Portanto, os pontos onde a função cruza o eixo são , e .

Passo 3

Agora, vamos analisar o sinal da função em cada intervalo:
  • Para , peguemos :
  • Para , peguemos :
Então, a função está acima do eixo de a e abaixo de a .

Passo 4

Vamos calcular a área em cada intervalo separadamente e depois somar:
  • De a :
Á
Integrando:
Calculando entre e :
  • De a :
Á
Integrando:
Como formamos o valor absoluto:
Á

Resposta

A área total entre o gráfico da função e o eixo no intervalo de a é unidades de área.

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Se é uma função contínua e não negativa em , então a integral é exatamente a área da região abaixo do gráfico de e acima do eixo . Em cada um dos itens abaixo, faça o gráfico da função no intervalo em que ocorre a integração para, em seguida, calcular essa integral.
Encontre o valor de
, para
Determine a derivada das funções dada.
Determine a derivada das funções dada.