Se é uma função contínua e não negativa em , então a integral é exatamente a área da região abaixo do gráfico de e acima do eixo . Em cada um dos itens abaixo, faça o gráfico da função no intervalo em que ocorre a integração para, em seguida, calcular essa integral.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para calcular a área sob o gráfico da função no intervalo de até . Para isso, vamos usar o conceito de integrais, que nos ajuda a encontrar áreas sob curvas. Precisaremos desenhar o gráfico da função nesse intervalo e, em seguida, calcular a integral definida .

Passo 2

Primeiro, vamos desenhar o gráfico da função no intervalo de 0 a 1. Essa é uma reta que passa pela origem (0,0) e tem inclinação 2, ou seja, sobe 2 unidades no eixo y para cada 1 unidade que avança no eixo x. No ponto , .

Passo 3

Agora que temos o gráfico, podemos visualizar que a área que queremos calcular é a área de um triângulo formado pela reta , o eixo x e a linha vertical em . Mas vamos seguir com a resolução usando a definição de integral.

Passo 4

A integral definida calcula a área sob a curva entre e . No nosso caso, e , então queremos .

Passo 5

Para resolver a integral , precisamos encontrar a antiderivada de . Sabemos que a integral de é , onde é a constante de integração. Aqui, , então:

Passo 6

Agora, vamos aplicar os limites de integração de 0 a 1. Calculamos , onde :

Resposta

A integral é igual a 1. Portanto, a área sob a curva de entre e é 1 unidade quadrada.

Exercícios relacionados

Encontre o valor de
, para
Calcule as integrais definidas abaixo.
Em cada um dos itens abaixo, determine a área da região compreendida entre o gráfico da função e o eixo :
, para ;
Determine a derivada das funções dada.