Se f é uma função contínua e não negativa em [a, b], então a integral integrala^b f(x) d x é exatamente a área da região abaixo do gráfico de f e acima do eixo O x. Em cada um dos itens abaixo, faça o gráfico da função no intervalo em que ocorre a integração para, em seguida, calcular essa integral.
integral0^1 2 x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para calcular a área sob o gráfico da função no intervalo de até . Para isso, vamos usar o conceito de integrais, que nos ajuda a encontrar áreas sob curvas. Precisaremos desenhar o gráfico da função nesse intervalo e, em seguida, calcular a integral definida .

Passo 2

Primeiro, vamos desenhar o gráfico da função no intervalo de 0 a 1. Essa é uma reta que passa pela origem (0,0) e tem inclinação 2, ou seja, sobe 2 unidades no eixo y para cada 1 unidade que avança no eixo x. No ponto , .

Passo 3

Agora que temos o gráfico, podemos visualizar que a área que queremos calcular é a área de um triângulo formado pela reta , o eixo x e a linha vertical em . Mas vamos seguir com a resolução usando a definição de integral.

Passo 4

A integral definida calcula a área sob a curva entre e . No nosso caso, e , então queremos .

Passo 5

Para resolver a integral integral 2x , dx = 2 times x^22 + C = x^2 + C , precisamos encontrar a antiderivada de . Sabemos que a integral de é , onde é a constante de integração. Aqui, , então:

Passo 6

Agora, vamos aplicar os limites de integração de 0 a 1. Calculamos F(1) = (1)^2 = 1 , onde F(0) = (0)^2 = 0 :
F(1) - F(0) = 1 - 0 = 1

Resposta

A integral é igual a 1. Portanto, a área sob a curva de entre e é 1 unidade quadrada.

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