Se
é uma função contínua e não negativa em
, então a integral
é exatamente a área da região abaixo do gráfico de
e acima do eixo
. Em cada um dos itens abaixo, faça o gráfico da função no intervalo em que ocorre a integração para, em seguida, calcular essa integral.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para calcular a área sob o gráfico da função
no intervalo de
até
. Para isso, vamos usar o conceito de integrais, que nos ajuda a encontrar áreas sob curvas. Precisaremos desenhar o gráfico da função nesse intervalo e, em seguida, calcular a integral definida
.
Passo 2
Primeiro, vamos desenhar o gráfico da função
no intervalo de 0 a 1. Essa é uma reta que passa pela origem (0,0) e tem inclinação 2, ou seja, sobe 2 unidades no eixo y para cada 1 unidade que avança no eixo x. No ponto
,
.
Passo 3
Agora que temos o gráfico, podemos visualizar que a área que queremos calcular é a área de um triângulo formado pela reta
, o eixo x e a linha vertical em
. Mas vamos seguir com a resolução usando a definição de integral.
Passo 4
A integral definida
calcula a área sob a curva
entre
e
. No nosso caso,
e
, então queremos
.
Passo 5
Para resolver a integral
, precisamos encontrar a antiderivada de
. Sabemos que a integral de
é
, onde
é a constante de integração. Aqui,
, então:
Passo 6
Agora, vamos aplicar os limites de integração de 0 a 1. Calculamos
, onde
:
Resposta
A integral
é igual a 1. Portanto, a área sob a curva de
entre
e
é 1 unidade quadrada.
Exercícios relacionados
Encontre o valor de
, para
Calcule as integrais definidas abaixo.
Em cada um dos itens abaixo, determine a área da região compreendida entre o gráfico da função
e o eixo
:
, para
;
Determine a derivada das funções dada.