Encontre o valor de
integral-4^2 f(x) d x, para f(x)= -x, & se x <= 0, x, & se x>0

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral definida f(x) = -x, & se x <= 0, x, & se x > 0 , onde a função é definida por partes:
Aqui, vamos usar o conceito de integração por partes definidas, que nos ajuda a calcular a área sob uma curva quando a função é definida de maneira diferente em certos intervalos. Precisamos dividir a integral onde a definição da função muda, que aqui é em .

Passo 2

Primeiro, vamos dividir a integral em duas partes, já que a definição de integral-4^2 f(x) , dx = integral-4^0 (-x) , dx + integral0^2 x , dx muda em :
Isso facilita o cálculo, pois agora temos duas integrais mais simples de resolver.

Passo 3

Vamos calcular a primeira integral: integral-4^0 (-x) , dx = [ -x^22 ]-4^0 = ( -0^22 ) - ( -(-4)^22 ) = 0 - (-8) = 8 .
A antiderivada de é . Então:

Passo 4

Agora, vamos calcular a segunda integral: integral0^2 x , dx = [ x^22 ]0^2 = 2^22 - 0^22 = 2 - 0 = 2 .
A antiderivada de é . Então:

Resposta

Somando os dois resultados:
integral-4^2 f(x) , dx = 8 + 2 = 10

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