Para cada um dos itens abaixo determine o domínio de
e
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. A gente tem uma função vetorial
e precisa descobrir o domínio dessa função, assim como o domínio das suas primeiras e segundas derivadas, que são
e
. O domínio é basicamente o conjunto de valores de
para os quais a função está definida, ou seja, dá um resultado válido.
Passo 2
Vamos começar analisando o domínio de
. A função
tem duas componentes:
-
: Aqui, precisamos garantir que o denominador não seja zero porque divisão por zero não é permitida. Então, , o que significa que . -
: A função seno está definida para todos os números reais, ou seja, para qualquer valor de .
Portanto, o domínio de
é todos os números reais menos
.
Passo 3
Agora, vamos derivar
para encontrar
. Derivando cada componente:
-
Derivada de
: Usamos a regra do poder. -
Derivada de
: Aplicamos a regra da cadeia.
Então,
Agora, analisando o domínio de
:
-
: O denominador não pode ser zero, então . -
: A função cosseno também está definida para todos os números reais.
Portanto, o domínio de
é o mesmo que o de
, ou seja, todos os números reais menos
.
Passo 4
Vamos agora encontrar
derivando
:
-
Derivada de
: Aplicando a regra do poder novamente. -
Derivada de
: Mais uma vez, usamos a regra da cadeia.
Então,
Analisando o domínio de
:
-
: Novamente, , então . -
: A função seno está definida para todos os números reais.
Portanto, o domínio de
também é todos os números reais menos
.
Resposta
O domínio de
,
e
é todos os números reais exceto
.