Para cada um dos itens abaixo determine o domínio de r(t), r'(t) e r''(t).
r(t) = (1/t^2, sen(2-t))

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. A gente tem uma função vetorial e precisa descobrir o domínio dessa função, assim como o domínio das suas primeiras e segundas derivadas, que são e . O domínio é basicamente o conjunto de valores de para os quais a função está definida, ou seja, dá um resultado válido.

Passo 2

Vamos começar analisando o domínio de . A função tem duas componentes:
  1. : Aqui, precisamos garantir que o denominador não seja zero porque divisão por zero não é permitida. Então, , o que significa que .
  2. : A função seno está definida para todos os números reais, ou seja, para qualquer valor de .
Portanto, o domínio de é todos os números reais menos .

Passo 3

Agora, vamos derivar para encontrar . Derivando cada componente:
  1. Derivada de : Usamos a regra do poder.
  2. Derivada de : Aplicamos a regra da cadeia.
Então,
Agora, analisando o domínio de :
  1. : O denominador não pode ser zero, então .
  2. : A função cosseno também está definida para todos os números reais.
Portanto, o domínio de é o mesmo que o de , ou seja, todos os números reais menos .

Passo 4

Vamos agora encontrar derivando :
  1. Derivada de : Aplicando a regra do poder novamente.
  2. Derivada de : Mais uma vez, usamos a regra da cadeia.
Então,
Analisando o domínio de :
  1. : Novamente, , então .
  2. : A função seno está definida para todos os números reais.
Portanto, o domínio de também é todos os números reais menos .

Resposta

O domínio de , e é todos os números reais exceto .

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