y' = (x^2 y - y) / (y + 1) ; y(3) = -1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício que você trouxe é uma equação diferencial:
çã
Aqui, estamos lidando com equações diferenciais, que envolvem derivadas de uma função. Vamos precisar rearranjar a equação para separar as variáveis e e então integrar ambos os lados para encontrar a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação:
Isso nos deixa com:

Passo 3

Agora, vamos rearranjar a equação para separar as variáveis e . Multiplicamos ambos os lados por e dividimos por :
Então:

Passo 4

Vamos simplificar a fração à esquerda:
Portanto, a equação fica:

Passo 5

Agora, integramos ambos os lados:
Isso resulta em:
onde é a constante de integração.

Passo 6

Vamos aplicar a condição inicial para encontrar o valor de :
Substituindo e :
Sabemos que , então:

Resposta

A solução da equação diferencial com a condição inicial dada é:

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