Determinar as condições sobre
na equação dada por
a fim de que: Haja uma raiz dupla;
Passo 1
Então, temos a equação quadrática
. Nosso objetivo aqui é descobrir quais valores de
fazem com que essa equação tenha uma raiz dupla. Vamos trabalhar com o conceito de discriminante para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma raiz dupla. Em uma equação quadrática da forma
, uma raiz dupla ocorre quando as duas soluções são iguais, ou seja, quando a equação tem apenas uma solução real. Para isso, usamos o discriminante (
), que é dado por:
Quando
, a equação possui uma raiz dupla.
Passo 3
Vamos identificar os coeficientes da nossa equação:
Agora, vamos calcular o discriminante:
Passo 4
Simplificando os cálculos:
Distribuindo o
:
Somando os termos constantes:
Passo 5
Para que haja uma raiz dupla, o discriminante deve ser igual a zero. Então, igualamos
a zero:
Passo 6
Resolvendo a equação para
:
Simplificando a fração:
Resposta
O valor de
que faz com que a equação
tenha uma raiz dupla é
.