Determinar as condições sobre m na equação dada por 3*x^2 - 2*x + (m - 1) a fim de que: Haja uma raiz dupla;

Passo 1

Então, temos a equação quadrática . Nosso objetivo aqui é descobrir quais valores de fazem com que essa equação tenha uma raiz dupla. Vamos trabalhar com o conceito de discriminante para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma raiz dupla. Em uma equação quadrática da forma , uma raiz dupla ocorre quando as duas soluções são iguais, ou seja, quando a equação tem apenas uma solução real. Para isso, usamos o discriminante ( ), que é dado por:
Quando , a equação possui uma raiz dupla.

Passo 3

Vamos identificar os coeficientes da nossa equação:
Agora, vamos calcular o discriminante:

Passo 4

Simplificando os cálculos:
Distribuindo o :
Somando os termos constantes:

Passo 5

Para que haja uma raiz dupla, o discriminante deve ser igual a zero. Então, igualamos a zero:

Passo 6

Resolvendo a equação para :
Simplificando a fração:

Resposta

O valor de que faz com que a equação tenha uma raiz dupla é .

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