Para cada um dos itens abaixo determine o domínio de e .
.

Passo 1

Vamos lá! O exercício pede para determinar o domínio de , da sua primeira derivada e da segunda derivada . Estamos trabalhando com funções vetoriais que envolvem componentes como raízes quadradas e exponenciais. Para resolver isso, precisamos entender o que define o domínio de uma função e como aplicar isso a cada componente das nossas derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o domínio de . O domínio de uma função é o conjunto de valores de para os quais todas as partes da função estão definidas.

Passo 3

Vamos olhar cada componente de :
  1. : A raiz quadrada está definida para porque não podemos tirar a raiz de um número negativo.
  2. : A função exponencial está definida para todos os valores reais de .
  3. : Esta é uma função linear simples, definida para todos os valores reais de .

Passo 4

Para que esteja definida, todas as componentes precisam estar definidas ao mesmo tempo. A restrição vem da componente , que exige que .

Passo 5

Agora, vamos encontrar a primeira derivada de , que é :

Passo 6

Vamos analisar o domínio de :
  1. : A raiz quadrada no denominador exige que , pois não podemos dividir por zero.
  2. : Está definida para todos os valores reais de .
  3. : É uma constante, sempre definida.

Passo 7

Assim, o domínio de é .

Passo 8

Agora, vamos calcular a segunda derivada de , que é :

Passo 9

Analisando o domínio de :
  1. : A raiz quadrada no denominador requer que para evitar divisão por zero e números negativos.
  2. : Está definida para todos os valores reais de .
  3. : É uma constante, sempre definida.

Passo 10

Portanto, o domínio de é .

Resposta

  • Domínio de :
  • Domínio de :
  • Domínio de :

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d) eixo focal de equação , diretriz e vértice sobre a reta ;