Para cada um dos itens abaixo determine o domínio de r(t), r^prime(t) e r^prime prime(t).
r(t)=(raizt, e^2 t, t).

Passo 1

Vamos lá! O exercício pede para determinar o domínio de r(t), da sua primeira derivada r^prime(t) e da segunda derivada r^prime prime(t). Estamos trabalhando com funções vetoriais que envolvem componentes como raízes quadradas e exponenciais. Para resolver isso, precisamos entender o que define o domínio de uma função e como aplicar isso a cada componente das nossas derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o domínio de r(t) = (raizt, e^2 t, t). O domínio de uma função é o conjunto de valores de t para os quais todas as partes da função estão definidas.

Passo 3

Vamos olhar cada componente de r(t):
  1. raizt: A raiz quadrada está definida para t >= 0 porque não podemos tirar a raiz de um número negativo.
  2. e^2t: A função exponencial está definida para todos os valores reais de t.
  3. t: Esta é uma função linear simples, definida para todos os valores reais de t.

Passo 4

Para que r(t) esteja definida, todas as componentes precisam estar definidas ao mesmo tempo. A restrição vem da componente raizt, que exige que t >= 0.

Passo 5

Agora, vamos encontrar a primeira derivada de r(t), que é r^prime(t):
r^prime(t) = (ddt raizt, ddt e^2t, ddt t) = (12raizt, 2 e^2t, 1)

Passo 6

Vamos analisar o domínio de r^prime(t):
  1. 12raizt: A raiz quadrada no denominador exige que t > 0, pois não podemos dividir por zero.
  2. 2 e^2t: Está definida para todos os valores reais de t.
  3. 1: É uma constante, sempre definida.

Passo 7

Assim, o domínio de r^prime(t) é t > 0.

Passo 8

Agora, vamos calcular a segunda derivada de r(t), que é r^prime prime(t):
r^prime prime(t) = (ddt (12raizt), ddt (2 e^2t), ddt 1) = (-14 t^3/2, 4 e^2t, 0)

Passo 9

Analisando o domínio de r^prime prime(t):
  1. -14 t^3/2: A raiz quadrada no denominador requer que t > 0 para evitar divisão por zero e números negativos.
  2. 4 e^2t: Está definida para todos os valores reais de t.
  3. 0: É uma constante, sempre definida.

Passo 10

Portanto, o domínio de r^prime prime(t) é t > 0.

Resposta

  • Domínio de r(t): t >= 0
  • Domínio de r^prime(t): t > 0
  • Domínio de r^prime prime(t): t > 0

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