Questão 4. Em cada um dos seguintes itens, determine a equação da parábola a partir dos elementos dados:
d) eixo focal de equação , diretriz e vértice sobre a reta ;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação de uma parábola com base em três informações:
  • Eixo focal: a linha , ou seja, .
  • Diretriz: a reta , ou seja, .
  • Vértice: está sobre a reta .
Vamos precisar entender um pouquinho sobre parábolas, principalmente como elas se relacionam com o eixo focal, a diretriz e o vértice. Bora lá!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma parábola é o conjunto de pontos que estão equidistantes de um ponto fixo chamado foco e de uma reta fixa chamada diretriz. O vértice é o ponto médio entre o foco e a diretriz.
No nosso caso:
  • A diretriz é , que é uma linha vertical.
  • O eixo focal é , que é uma linha horizontal.
Isso nos indica que a parábola vai abrir para a esquerda ou para a direita, já que a diretriz é vertical.

Passo 3

Vamos achar as coordenadas do vértice . Sabemos que o vértice está sobre a reta . Então, podemos dizer que:
Também sabemos que a distância do vértice até a diretriz é igual à distância do vértice até o foco. Vamos chamar essa distância de .
Como a diretriz é e a parábola abre para a esquerda ou direita, a coordenada do foco será , já que se a parábola abre para a esquerda, será negativo.

Passo 4

A distância entre o vértice e a diretriz é . Como a diretriz é , temos:
O foco está do outro lado do vértice em relação à diretriz, então:
Como o eixo focal é , sabemos que a coordenada do foco é 5. Então, o foco tem coordenadas .

Passo 5

Substituindo na coordenada do foco, temos:
Agora que achamos , podemos encontrar :
Então, o vértice é .

Passo 6

Sabendo que a distância entre o vértice e a diretriz é :
áá

Passo 7

Agora, a forma padrão da equação de uma parábola que abre para a esquerda ou direita é:
Substituindo os valores que encontramos:

Resposta

A equação da parábola é:

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Para cada um dos itens abaixo determine o domínio de e .
.
Dados os vetores ; e . Calcule e , tal que: .
Questão 4. Em cada um dos seguintes itens, determine a equação da parábola a partir dos elementos dados:
b) vértice , eixo focal paralelo a e é o ponto de seu gráfico;