Questão 4. Em cada um dos seguintes itens, determine a equação da parábola a partir dos elementos dados:
d) eixo focal de equação
, diretriz
e vértice sobre a reta
;
d) eixo focal de equação
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação de uma parábola com base em três informações:
- Eixo focal: a linha
, ou seja, . - Diretriz: a reta
, ou seja, . - Vértice: está sobre a reta
.
Vamos precisar entender um pouquinho sobre parábolas, principalmente como elas se relacionam com o eixo focal, a diretriz e o vértice. Bora lá!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma parábola é o conjunto de pontos que estão equidistantes de um ponto fixo chamado foco e de uma reta fixa chamada diretriz. O vértice é o ponto médio entre o foco e a diretriz.
No nosso caso:
- A diretriz é
, que é uma linha vertical. - O eixo focal é
, que é uma linha horizontal.
Isso nos indica que a parábola vai abrir para a esquerda ou para a direita, já que a diretriz é vertical.
Passo 3
Vamos achar as coordenadas do vértice
. Sabemos que o vértice está sobre a reta
. Então, podemos dizer que:
Também sabemos que a distância do vértice até a diretriz é igual à distância do vértice até o foco. Vamos chamar essa distância de
.
Como a diretriz é
e a parábola abre para a esquerda ou direita, a coordenada
do foco será
, já que se a parábola abre para a esquerda,
será negativo.
Passo 4
A distância entre o vértice e a diretriz é
. Como a diretriz é
, temos:
O foco está do outro lado do vértice em relação à diretriz, então:
Como o eixo focal é
, sabemos que a coordenada
do foco é 5. Então, o foco tem coordenadas
.
Passo 5
Substituindo
na coordenada
do foco, temos:
Agora que achamos
, podemos encontrar
:
Então, o vértice é
.
Passo 6
Sabendo que a distância entre o vértice e a diretriz é
:
Passo 7
Agora, a forma padrão da equação de uma parábola que abre para a esquerda ou direita é:
Substituindo os valores que encontramos:
Resposta
A equação da parábola é:
Exercícios relacionados
Para cada um dos itens abaixo determine o domínio de
e
.
.
Dados os vetores
;
e
. Calcule
e
, tal que:
.
Questão 4. Em cada um dos seguintes itens, determine a equação da parábola a partir dos elementos dados:
b) vértice , eixo focal paralelo a
e
é o ponto de seu gráfico;
b) vértice