Questão 4. Em cada um dos seguintes itens, determine a equação da parábola a partir dos elementos dados:
d) eixo focal de equação y-5=0, diretriz l: x-3=0 e vértice sobre a reta r: y=2 x+3;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação de uma parábola com base em três informações:
  • Eixo focal: a linha y - 5 = 0, ou seja, y = 5.
  • Diretriz: a reta l: x - 3 = 0, ou seja, x = 3.
  • Vértice: está sobre a reta r: y = 2x + 3.
Vamos precisar entender um pouquinho sobre parábolas, principalmente como elas se relacionam com o eixo focal, a diretriz e o vértice. Bora lá!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma parábola é o conjunto de pontos que estão equidistantes de um ponto fixo chamado foco e de uma reta fixa chamada diretriz. O vértice é o ponto médio entre o foco e a diretriz.
No nosso caso:
  • A diretriz é x = 3, que é uma linha vertical.
  • O eixo focal é y = 5, que é uma linha horizontal.
Isso nos indica que a parábola vai abrir para a esquerda ou para a direita, já que a diretriz é vertical.

Passo 3

Vamos achar as coordenadas do vértice (h, k). Sabemos que o vértice está sobre a reta y = 2x + 3. Então, podemos dizer que:
k = 2h + 3
Também sabemos que a distância do vértice até a diretriz é igual à distância do vértice até o foco. Vamos chamar essa distância de p.
Como a diretriz é x = 3 e a parábola abre para a esquerda ou direita, a coordenada x do foco será h + p, já que se a parábola abre para a esquerda, p será negativo.

Passo 4

A distância entre o vértice e a diretriz é |p|. Como a diretriz é x = 3, temos:
|h - 3| = |p|
O foco está do outro lado do vértice em relação à diretriz, então:
h + p = coordenada x do foco
Como o eixo focal é y = 5, sabemos que a coordenada y do foco é 5. Então, o foco tem coordenadas (h + p, 5).

Passo 5

Substituindo k = 2h + 3 na coordenada y do foco, temos:
5 = 2h + 3 5 - 3 = 2h 2 = 2h h = 1
Agora que achamos h = 1, podemos encontrar k:
k = 2(1) + 3 = 5
Então, o vértice é (1, 5).

Passo 6

Sabendo que a distância entre o vértice e a diretriz é |p|:
|1 - 3| = |p| | -2 | = |p| 2 = |p| p = -2 (já que a parábola abre para a esquerda) áá

Passo 7

Agora, a forma padrão da equação de uma parábola que abre para a esquerda ou direita é:
(y - k)^2 = 4p(x - h)
Substituindo os valores que encontramos:
(y - 5)^2 = 4(-2)(x - 1) (y - 5)^2 = -8(x - 1)

Resposta

A equação da parábola é:
(y - 5)^2 = -8(x - 1)

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