Para cada um dos itens abaixo determine o domínio de
e
.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir o domínio de três funções relacionadas:
, sua primeira derivada
e a segunda derivada
. A função vetorial dada é
. Para resolver isso, vamos precisar entender os domínios das funções envolvidas (logaritmo, seno e polinômio) e como diferenciar cada componente da função vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos achar o domínio de
. O domínio de uma função é o conjunto de valores de
para os quais a função está bem definida.
-
Componente 1:
- O logaritmo natural só está definido para argumentos positivos. Então, precisamos que
. - Resolvendo:
.
- O logaritmo natural só está definido para argumentos positivos. Então, precisamos que
-
Componente 2:
- A função seno está definida para todos os números reais. Então, não impõe restrições.
-
Componente 3:
- Qualquer número real ao quadrado está bem definido. Sem restrições aqui também.
Então, o domínio de
é onde todas as componentes estão definidas simultaneamente, ou seja,
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a primeira derivada
e seu domínio.
- Derivando cada componente:
-
Então,
.
- Analisando o domínio:
-
está definido enquanto . -
e estão definidos para todos os reais.
-
Mas lembre-se que o domínio original de
já é
, então continuamos com
.
Passo 4
Por último, vamos achar a segunda derivada
e seu domínio.
- Derivando cada componente de
: -
Então,
.
- Analisando o domínio:
-
está definido enquanto . -
e est��o definidos para todos os reais.
-
Novamente, como o domínio inicial é
, a segunda derivada também tem domínio
.
Resposta
O domínio de
,
e
é
.