Para cada um dos itens abaixo determine o domínio de r(t), r^prime(t) e r^prime prime(t).
r(t)=(ln (1-t), sin t, t^2).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir o domínio de três funções relacionadas: r(t), sua primeira derivada r^prime(t) e a segunda derivada r^prime prime(t). A função vetorial dada é r(t) = (ln (1-t), sin t, t^2). Para resolver isso, vamos precisar entender os domínios das funções envolvidas (logaritmo, seno e polinômio) e como diferenciar cada componente da função vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos achar o domínio de r(t). O domínio de uma função é o conjunto de valores de t para os quais a função está bem definida.
  • Componente 1: ln(1-t)
    • O logaritmo natural só está definido para argumentos positivos. Então, precisamos que 1 - t > 0.
    • Resolvendo: 1 - t > 0 Rightarrow t < 1.
  • Componente 2: sin t
    • A função seno está definida para todos os números reais. Então, não impõe restrições.
  • Componente 3: t^2
    • Qualquer número real ao quadrado está bem definido. Sem restrições aqui também.
Então, o domínio de r(t) é onde todas as componentes estão definidas simultaneamente, ou seja, t < 1.

Passo 3

Agora, vamos encontrar a primeira derivada r^prime(t) e seu domínio.
  • Derivando cada componente:
    • ddt ln(1-t) = -11-t
    • ddt sin t = cos t
    • ddt t^2 = 2t
Então, r^prime(t) = (-11-t, cos t, 2t).
  • Analisando o domínio:
    • -11-t está definido enquanto 1 - t neq 0 Rightarrow t neq 1.
    • cos t e 2t estão definidos para todos os t reais.
Mas lembre-se que o domínio original de r(t) já é t < 1, então continuamos com t < 1.

Passo 4

Por último, vamos achar a segunda derivada r^prime prime(t) e seu domínio.
  • Derivando cada componente de r^prime(t):
    • ddt (-11-t) = -1 cdot (-1)(1-t)^2 = 1(1-t)^2
    • ddt cos t = -sin t
    • ddt 2t = 2
Então, r^prime prime(t) = (1(1-t)^2, -sin t, 2).
  • Analisando o domínio:
    • 1(1-t)^2 está definido enquanto 1 - t neq 0 Rightarrow t neq 1.
    • -sin t e 2 est��o definidos para todos os t reais.
Novamente, como o domínio inicial é t < 1, a segunda derivada também tem domínio t < 1.

Resposta

O domínio de r(t), r^prime(t) e r^prime prime(t) é t in (-infty, , 1).

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