Sendo os vetores a=2 i+2 j-k ; b=3 i+4 j+2 k e c=i+2 j+ 3 k, o valor do produto a cdot(b times c) vale?

Passo 1

Beleza, temos três vetores no espaço: a = 2i + 2j - k, b = 3i + 4j + 2k e c = i + 2j + 3k. A gente precisa calcular o produto escalar da a com o produto vetorial de b e c, ou seja, a cdot (b times c). Para isso, vamos usar as propriedades de produto escalar e produto vetorial dos vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o produto vetorial b times c. O produto vetorial entre dois vetores resulta em um novo vetor perpendicular aos dois originais. A fórmula para calcular o produto vetorial entre b = b1i + b2j + b3k e c = c1i + c2j + c3k é dada pelo determinante da matriz:
b times c = i & j & k 3 & 4 & 2 1 & 2 & 3

Passo 3

Vamos calcular esse determinante:
b times c = i(4 cdot 3 - 2 cdot 2) - j(3 cdot 3 - 2 cdot 1) + k(3 cdot 2 - 4 cdot 1)
Simplificando cada parte:
  • Componente i: 4 times 3 = 12, 2 times 2 = 4, então 12 - 4 = 8.
  • Componente j: 3 times 3 = 9, 2 times 1 = 2, então 9 - 2 = 7.
  • Componente k: 3 times 2 = 6, 4 times 1 = 4, então 6 - 4 = 2.
Portanto:
b times c = 8i - 7j + 2k

Passo 4

Agora que temos b times c = 8i - 7j + 2k, vamos calcular o produto escalar com o vetor a = 2i + 2j - k. O produto escalar entre dois vetores u = u1i + u2j + u3k e v = v1i + v2j + v3k é dado por:
u cdot v = u1v1 + u2v2 + u3v3

Passo 5

Aplicando essa fórmula:
a cdot (b times c) = (2)(8) + (2)(-7) + (-1)(2)
Calculando cada termo:
  • 2 times 8 = 16
  • 2 times (-7) = -14
  • -1 times 2 = -2
Somando tudo:
16 - 14 - 2 = 0

Resposta

O valor do produto a cdot (b times c) é igual a 0.

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