Beleza, temos três vetores no espaço: , e . A gente precisa calcular o produto escalar da com o produto vetorial de e , ou seja, . Para isso, vamos usar as propriedades de produto escalar e produto vetorial dos vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o produto vetorial . O produto vetorial entre dois vetores resulta em um novo vetor perpendicular aos dois originais. A fórmula para calcular o produto vetorial entre e é dada pelo determinante da matriz:
Passo 3
Vamos calcular esse determinante:
b times c = i(4 cdot 3 - 2 cdot 2) - j(3 cdot 3 - 2 cdot 1) + k(3 cdot 2 - 4 cdot 1)
Simplificando cada parte:
Componente i: 4 times 3 = 12, 2 times 2 = 4, então 12 - 4 = 8.
Componente j: 3 times 3 = 9, 2 times 1 = 2, então 9 - 2 = 7.
Componente k: 3 times 2 = 6, 4 times 1 = 4, então 6 - 4 = 2.
Portanto:
b times c = 8i - 7j + 2k
Passo 4
Agora que temos b times c = 8i - 7j + 2k, vamos calcular o produto escalar com o vetor a = 2i + 2j - k. O produto escalar entre dois vetores u = u1i + u2j + u3k e v = v1i + v2j + v3k é dado por:
u cdot v = u1v1 + u2v2 + u3v3
Passo 5
Aplicando essa fórmula:
a cdot (b times c) = (2)(8) + (2)(-7) + (-1)(2)
Calculando cada termo:
2 times 8 = 16
2 times (-7) = -14
-1 times 2 = -2
Somando tudo:
16 - 14 - 2 = 0
Resposta
O valor do produto a cdot (b times c) é igual a 0.