Sendo u e v unitários, |w|=4, u cdot w=-2, v cdot w=-4, e ang (u, v)=pi3 rad, calcule:
(a) (u+v+w) cdot u
(b) (2 u-v+w) cdot(-u+v)
© (5 u-w) cdot(w-2 u)
(d) (w-v+u) cdot(-u+2 w+v)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de álgebra vetorial onde trabalhamos com vetores e produto escalar (também conhecido como dot product). Os vetores envolvidos são u e v, que são unitários (ou seja, têm magnitude igual a 1), e w, que tem magnitude 4. Além disso, sabemos que:
  • O produto escalar de u com w é -2 ( u cdot w = -2).
  • O produto escalar de v com w é -4 ( v cdot w = -4).
  • O ângulo entre u e v é pi3 radianos.
Vamos usar essas informações para calcular as expressões nos itens (a) a (d). Para isso, vamos lembrar que o produto escalar entre dois vetores a e b é dado por:
a cdot b = |a| |b| cos(theta)
onde theta é o ângulo entre eles. Também vamos aproveitar as propriedades do produto escalar, como a distributividade.

Passo 2

Vamos resolver o item (a): (u + v + w) cdot u
Primeiro, aplicamos a propriedade distributiva do produto escalar:
(u + v + w) cdot u = u cdot u + v cdot u + w cdot u
Sabemos que:
  • u cdot u = |u|^2 = 1^2 = 1 (já que u é unitário).
  • v cdot u = u cdot v = |u| |v| cos(pi3) = 1 times 1 times 12 = 12.
  • w cdot u = -2 (dado no enunciado).
Substituindo:
1 + 12 + (-2) = 1 + 0,5 - 2 = -0,5

Passo 3

Agora, o item (b): (2 u - v + w) cdot (-u + v)
Vamos expandir usando a distributividade:
(2 u) cdot (-u) + (2 u) cdot v + (-v) cdot (-u) + (-v) cdot v + w cdot (-u) + w cdot v
Calculando cada termo:
  1. 2 u cdot (-u) = 2 times (-1) times u cdot u = -2 times 1 = -2
  2. 2 u cdot v = 2 times 12 = 1
  3. -v cdot (-u) = v cdot u = 12
  4. -v cdot v = -|v|^2 = -1
  5. w cdot (-u) = -(w cdot u) = -(-2) = 2
  6. w cdot v = -4 (dado no enunciado)
Somando todos:
-2 + 1 + 0,5 -1 + 2 -4 = -4,5

Passo 4

Vamos ao item ©: (5 u - w) cdot (w - 2 u)
Aplicando a distributividade:
5 u cdot w - 10 u cdot u - w cdot w + 2 w cdot u
Calculando cada termo:
  1. 5 u cdot w = 5 times (-2) = -10
  2. -10 u cdot u = -10 times 1 = -10
  3. -w cdot w = -|w|^2 = -16
  4. 2 w cdot u = 2 times (-2) = -4
Somando:
-10 -10 -16 -4 = -40

Passo 5

Por fim, o item (d): (w - v + u) cdot (-u + 2 w + v)
Expandindo usando a distributividade:
w cdot (-u) + w cdot 2 w + w cdot v - v cdot u + v cdot 2 w + v cdot v + u cdot (-u) + u cdot 2 w + u cdot v
Calculando cada termo:
  1. w cdot (-u) = -(w cdot u) = 2
  2. w cdot 2 w = 2 times |w|^2 = 2 times 16 = 32
  3. w cdot v = -4
  4. -v cdot u = -12
  5. v cdot 2 w = 2 times (-4) = -8
  6. v cdot v = |v|^2 = 1
  7. u cdot (-u) = -1
  8. u cdot 2 w = 2 times (-2) = -4
  9. u cdot v = 12
Somando todos:
2 + 32 -4 -0,5 -8 +1 -1 -4 +0,5 = 18

Resposta

(a) -0,5
(b) -4,5
© -40
(d) 18

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