Sendo
e
unitários,
, e ang
, calcule:
(a)
(b)
©
(d)
(a)
(b)
©
(d)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de álgebra vetorial onde trabalhamos com vetores e produto escalar (também conhecido como dot product). Os vetores envolvidos são
e
, que são unitários (ou seja, têm magnitude igual a 1), e
, que tem magnitude 4. Além disso, sabemos que:
- O produto escalar de
com é ( ). - O produto escalar de
com é ( ). - O ângulo entre
e é radianos.
Vamos usar essas informações para calcular as expressões nos itens (a) a (d). Para isso, vamos lembrar que o produto escalar entre dois vetores
e
é dado por:
onde
é o ângulo entre eles. Também vamos aproveitar as propriedades do produto escalar, como a distributividade.
Passo 2
Vamos resolver o item (a):
Primeiro, aplicamos a propriedade distributiva do produto escalar:
Sabemos que:
-
(já que é unitário). -
. -
(dado no enunciado).
Substituindo:
Passo 3
Agora, o item (b):
Vamos expandir usando a distributividade:
Calculando cada termo:
-
-
-
-
-
-
(dado no enunciado)
Somando todos:
Passo 4
Vamos ao item ©:
Aplicando a distributividade:
Calculando cada termo:
Somando:
Passo 5
Por fim, o item (d):
Expandindo usando a distributividade:
Calculando cada termo:
Somando todos:
Resposta
(a)
(b)
©
(d)
(b)
©
(d)
Exercícios relacionados
Questão 4. Em cada um dos seguintes itens, determine a equação da parábola a partir dos elementos dados:
b) vértice , eixo focal paralelo a
e
é o ponto de seu gráfico;
b) vértice
Questão 5. Para cada uma das parábolas apresentadas, determine os seguintes itens:
(i) as coordenadas do vértice e do foco;
(ii) as equações da diretriz e do eixo focal;
(iii) o comprimento do Latus Rectum;
(iv) um esboço da cônica.
b)
(i) as coordenadas do vértice e do foco;
(ii) as equações da diretriz e do eixo focal;
(iii) o comprimento do Latus Rectum;
(iv) um esboço da cônica.
b)
Questão 6. Identifique o lugar geométrico de um ponto que se desloca de modo que a sua distância ao ponto
é igual à sua distância à reta
. Em seguida, determine a equação desse lugar geométrico.