Sendo e unitários, , e ang , calcule:
(a)
(b)
©
(d)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de álgebra vetorial onde trabalhamos com vetores e produto escalar (também conhecido como dot product). Os vetores envolvidos são e , que são unitários (ou seja, têm magnitude igual a 1), e , que tem magnitude 4. Além disso, sabemos que:
  • O produto escalar de com é ( ).
  • O produto escalar de com é ( ).
  • O ângulo entre e é radianos.
Vamos usar essas informações para calcular as expressões nos itens (a) a (d). Para isso, vamos lembrar que o produto escalar entre dois vetores e é dado por:
onde é o ângulo entre eles. Também vamos aproveitar as propriedades do produto escalar, como a distributividade.

Passo 2

Vamos resolver o item (a):
Primeiro, aplicamos a propriedade distributiva do produto escalar:
Sabemos que:
  • (já que é unitário).
  • .
  • (dado no enunciado).
Substituindo:

Passo 3

Agora, o item (b):
Vamos expandir usando a distributividade:
Calculando cada termo:
  1. (dado no enunciado)
Somando todos:

Passo 4

Vamos ao item ©:
Aplicando a distributividade:
Calculando cada termo:
Somando:

Passo 5

Por fim, o item (d):
Expandindo usando a distributividade:
Calculando cada termo:
Somando todos:

Resposta

(a)
(b)
©
(d)

Exercícios relacionados

Questão 4. Em cada um dos seguintes itens, determine a equação da parábola a partir dos elementos dados:
b) vértice , eixo focal paralelo a e é o ponto de seu gráfico;
Questão 5. Para cada uma das parábolas apresentadas, determine os seguintes itens:
(i) as coordenadas do vértice e do foco;
(ii) as equações da diretriz e do eixo focal;
(iii) o comprimento do Latus Rectum;
(iv) um esboço da cônica.
b)
Questão 6. Identifique o lugar geométrico de um ponto que se desloca de modo que a sua distância ao ponto é igual à sua distância à reta . Em seguida, determine a equação desse lugar geométrico.