Em cada um dos itens abaixo, determine a equação e um esboço da elipse a partir dos elementos dados:
Vértices
e
e excentricidade
;
Vértices
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma questão sobre elipses. Nos dão dois vértices da elipse, que são os pontos mais distantes no eixo maior, e a excentricidade, que nos diz o quão “esticada” a elipse é. Com esses dados, vamos conseguir montar a equação da elipse e esboçar ela no plano.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o centro da elipse. O centro fica no meio dos dois vértices. Então, a gente calcula a média das coordenadas dos vértices
e
.
Passo 3
Agora, vamos determinar o comprimento do eixo maior. A distância entre os dois vértices é
, onde
é o semi-eixo maior. Calculamos essa distância pela fórmula da distância entre dois pontos:
Então,
.
Passo 4
A excentricidade
é a relação entre a distância do centro até o foco (
) e o semi-eixo maior (
):
Passo 5
Sabendo que em uma elipse,
, onde
é o semi-eixo menor. Vamos encontrar
:
Passo 6
Como os vértices têm a mesma coordenada y, o eixo maior está na direção horizontal. A equação padrão da elipse com centro
e eixo maior horizontal é:
Substituindo os valores que achamos:
Resposta
A equação da elipse é:
O esboço da elipse tem centro no ponto
, com eixo maior horizontal de comprimento 8 e eixo menor vertical de comprimento
. Os vértices estão em
e
.