Em cada um dos itens abaixo, determine a equação e um esboço da elipse a partir dos elementos dados:
Vértices V1(5,-1) e V2(-3,-1) e excentricidade varepsilon=34;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma questão sobre elipses. Nos dão dois vértices da elipse, que são os pontos mais distantes no eixo maior, e a excentricidade, que nos diz o quão “esticada” a elipse é. Com esses dados, vamos conseguir montar a equação da elipse e esboçar ela no plano.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o centro da elipse. O centro fica no meio dos dois vértices. Então, a gente calcula a média das coordenadas dos vértices V1(5,-1) e V2(-3,-1).
Centro (h, k) = ( 5 + (-3)2, -1 + (-1)2 ) = (1, -1)

Passo 3

Agora, vamos determinar o comprimento do eixo maior. A distância entre os dois vértices é 2a, onde a é o semi-eixo maior. Calculamos essa distância pela fórmula da distância entre dois pontos:
2a = raiz(5 - (-3))^2 + (-1 - (-1))^2 = raiz8^2 + 0^2 = 8
Então, a = 4.

Passo 4

A excentricidade varepsilon é a relação entre a distância do centro até o foco ( c) e o semi-eixo maior ( a):
varepsilon = ca implies c = varepsilon cdot a = 34 cdot 4 = 3

Passo 5

Sabendo que em uma elipse, c^2 = a^2 - b^2, onde b é o semi-eixo menor. Vamos encontrar b:
3^2 = 4^2 - b^2 implies 9 = 16 - b^2 implies b^2 = 7 implies b = raiz7

Passo 6

Como os vértices têm a mesma coordenada y, o eixo maior está na direção horizontal. A equação padrão da elipse com centro (h, k) e eixo maior horizontal é:
(x - h)^2a^2 + (y - k)^2b^2 = 1
Substituindo os valores que achamos:
(x - 1)^216 + (y + 1)^27 = 1

Resposta

A equação da elipse é:
(x - 1)^216 + (y + 1)^27 = 1
O esboço da elipse tem centro no ponto (1, -1), com eixo maior horizontal de comprimento 8 e eixo menor vertical de comprimento 2raiz7. Os vértices estão em (5,-1) e (-3,-1).

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