Determine uma parametrização para cada um dos conjuntos abaixo descritos: Os planos x+y-z=2 e y+3 z=5.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar uma parametrização para dois planos no espaço: o primeiro é definido pela equação e o segundo pela equação . Para resolver isso, vamos precisar entender como parametrizar um plano, ou seja, como expressar as coordenadas , e em função de um ou mais parâmetros.

Passo 2

Primeiro, vamos começar com o plano . Para parametrizar um plano, a gente geralmente escolhe duas variáveis como parâmetros livres e expressa a terceira variável em função delas. Vamos escolher, por exemplo, e como nossos parâmetros.

Passo 3

Com x = 2 - y + z e x = 2 - s + t sendo livres, podemos reescrever a equação do plano para resolver :
Agora, vamos definir os parâmetros. Vamos chamar e , onde e são quaisquer números reais. Substituindo esses valores na equação de , temos:

Passo 4

Com isso, temos uma parametrização para o primeiro plano:
x = 2 - s + t y = s z = t
Aqui, e são os parâmetros que podem variar livremente.

Passo 5

Agora, vamos para o segundo plano . Seguiremos o mesmo método. Vamos escolher duas variáveis como parâmetros livres. Vamos optar por e dessa vez.

Passo 6

Com y = 5 - 3z e y = 5 - 3t livres, podemos resolver para :
Vamos definir e , onde e são quaisquer números reais. Substituindo na equação de , temos:

Passo 7

Assim, a parametrização para o segundo plano fica:
x = s y = 5 - 3t z = t
Novamente, e são parâmetros que podem assumir qualquer valor real.

Resposta

A parametrização dos planos é:
  1. Para o plano x = 2 - s + t y = s z = t :
x = s y = 5 - 3t z = t
  1. Para o plano :
Onde e são parâmetros reais.

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