Determine uma equação cartesiana para as retas (em R^2) : lx=3 t-2 y=5 t

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado nos dá as equações paramétricas de duas linhas no plano x = 3t - 2 y = 5t :
O que precisamos fazer é transformar essas equações paramétricas em uma equação cartesiana, ou seja, uma equação que relacione e diretamente, sem o parâmetro .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são equações paramétricas. Elas expressam as coordenadas e de cada ponto da reta em função de um parâmetro . Para converter para a forma cartesiana, precisamos eliminar esse parâmetro.

Passo 3

Vamos começar isolando o x = 3t - 2 na primeira equação:
x + 2 = 3t
Para isolar t = x + 23 , somamos 2 em ambos os lados:
Agora, dividimos ambos os lados por 3:

Passo 4

Agora que temos y = 5t em termos de y = 5 ( x + 23 ) , vamos substituir esse valor na segunda equação paramétrica para encontrar em termos de :
Substituindo :

Passo 5

Vamos simplificar essa expressão para obter a equação cartesiana:
y = 5(x + 2)3
Distribuindo o 5:
y = 5x + 103
Podemos também escrever isso como:
y = 53x + 103

Resposta

A equação cartesiana das retas é:
y = 53x + 103

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