Determine se as afirmações a seguir são verdadeiras ou falsas. Se verdadeira, apresente uma justificativa. Se falsa, apresente um contra-exemplo. Se dim(spanu, v, w)=3, então dim(spanu, v)=2.

Passo 1

Vamos analisar a afirmação: "Se dim(spanu, v, w)=3, então dim(spanu, v)=2". Aqui, estamos lidando com dimensões de espaços gerados por vetores e independência linear.

Passo 2

Primeiro, quando dizemos que dim(spanu, v, w)=3, isso significa que os vetores u, v, w são linearmente independentes. Em outras palavras, nenhum desses vetores pode ser escrito como combinação linear dos outros dois.

Passo 3

Agora, se temos três vetores que são linearmente independentes, isso implica que qualquer par desses vetores também deve ser linearmente independente. Por exemplo, os vetores u e v não podem ser colineares ou múltiplos um do outro.

Passo 4

Como u e v são linearmente independentes, o espaço gerado por eles, spanu, v, tem dimensão 2. Isso porque precisamos de dois vetores independentes para gerar um espaço bidimensional.

Resposta

Verdadeira. Se os vetores u, v, w são linearmente independentes (dimensão 3), então qualquer par deles, como u e v, também é linearmente independente, resultando em dimensão 2 para spanu, v.

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