Determine se as afirmações a seguir são verdadeiras ou falsas. Se verdadeira, apresente uma justificativa. Se falsa, apresente um contra-exemplo.
, então
.
Passo 1
Vamos analisar a afirmação: "Se
, então
". Aqui, estamos lidando com dimensões de espaços gerados por vetores e independência linear.
Passo 2
Primeiro, quando dizemos que
, isso significa que os vetores
são linearmente independentes. Em outras palavras, nenhum desses vetores pode ser escrito como combinação linear dos outros dois.
Passo 3
Agora, se temos três vetores que são linearmente independentes, isso implica que qualquer par desses vetores também deve ser linearmente independente. Por exemplo, os vetores
e
não podem ser colineares ou múltiplos um do outro.
Passo 4
Como
e
são linearmente independentes, o espaço gerado por eles,
, tem dimensão 2. Isso porque precisamos de dois vetores independentes para gerar um espaço bidimensional.
Resposta
Verdadeira. Se os vetores
são linearmente independentes (dimensão 3), então qualquer par deles, como
e
, também é linearmente independente, resultando em dimensão 2 para
.