Determine uma parametrização para cada um dos conjuntos abaixo descritos: A reta que é a intersecção dos planos dados pelas equações cartesianas z-x=1 e x+y+z= 0 .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar uma parametrização da reta que é a intersecção de dois planos, cujas equações são e . Isso envolve conhecimentos de geometria analítica, especificamente sobre como encontrar a reta onde dois planos se cruzam.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a interseção de dois planos geralmente é uma reta, a menos que os planos sejam paralelos ou coincidentes. Para encontrar essa reta, precisamos resolver o sistema de equações formado pelas duas equações dos planos.

Passo 3

Vamos escrever novamente as equações dos planos:
Nosso objetivo é expressar duas das variáveis em função de uma terceira, que será o nosso parâmetro. Vamos escolher como a variável livre, ou seja, vamos definir , onde é o parâmetro.

Passo 4

Com z - t = 1 implies z = t + 1 , podemos substituir esse valor na primeira equação para encontrar :

Passo 5

Agora, vamos substituir t + y + (t + 1) = 0 implies 2t + y + 1 = 0 implies y = -2t - 1 e na segunda equação para encontrar :

Passo 6

Agora temos todas as variáveis expressas em função de x = t y = -2t - 1 z = t + 1 :

Resposta

A parametrização da reta que é a intersecção dos planos x = t y = -2t - 1 z = t + 1 e é dada por:
onde é um parâmetro real.

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