Em cada um dos itens abaixo, determine uma função cuja derivada coincida com a função dada:

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem uma função e precisa encontrar uma outra função cuja derivada seja exatamente essa . Para resolver isso, vamos usar o conceito de integração, que é justamente o processo de encontrar uma função cujas derivadas correspondem a uma função dada.

Passo 2

Primeiro, vamos separar a função em duas partes para facilitar a integração:
Assim, podemos integrar cada termo separadamente:

Passo 3

Vamos começar integrando o primeiro termo, . A regra de integração para é simples:
No nosso caso, , então:
Aqui, é uma constante de integração.

Passo 4

Agora, vamos integrar o segundo termo, . Para isso, vamos usar a técnica de substituição. Seja:
Então, a derivada de em relação a é:
Ou seja:
Substituindo na integral:
Integrando:
Voltando para :
Aqui, é outra constante de integração.

Passo 5

Agora, juntamos as duas integrais que encontramos:
Onde é a constante geral de integração.

Resposta

A função cuja derivada é é:
Onde é uma constante qualquer.

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Em cada um dos itens abaixo, determine uma função cuja derivada coincida com a função dada:
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Uma função é ímpar se para todo . Supondo que é contínua e ímpar, resolva os itens abaixo:
© Interprete geometricamente o resultado do item (b).