Em cada um dos itens abaixo, determine uma função cuja derivada coincida com a função dada:
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem uma função
e precisa encontrar uma outra função
cuja derivada seja exatamente essa
. Para resolver isso, vamos usar o conceito de integração, que é justamente o processo de encontrar uma função cujas derivadas correspondem a uma função dada.
Passo 2
Primeiro, vamos separar a função
em duas partes para facilitar a integração:
Assim, podemos integrar cada termo separadamente:
Passo 3
Vamos começar integrando o primeiro termo,
. A regra de integração para
é simples:
No nosso caso,
, então:
Aqui,
é uma constante de integração.
Passo 4
Agora, vamos integrar o segundo termo,
. Para isso, vamos usar a técnica de substituição. Seja:
Então, a derivada de
em relação a
é:
Ou seja:
Substituindo na integral:
Integrando:
Voltando para
:
Aqui,
é outra constante de integração.
Passo 5
Agora, juntamos as duas integrais que encontramos:
Onde
é a constante geral de integração.
Resposta
A função cuja derivada é
é:
Onde
é uma constante qualquer.
Exercícios relacionados
Em cada um dos itens abaixo, determine uma função cuja derivada coincida com a função dada:
Em cada um dos itens abaixo, determine uma função cuja derivada coincida com a função dada:
Uma função
é ímpar se
para todo
. Supondo que
é contínua e ímpar, resolva os itens abaixo:
© Interprete geometricamente o resultado do item (b).
© Interprete geometricamente o resultado do item (b).