integral1^e e^ln (x)2 x d x

Passo 1

Beleza, temos um exercício que envolve cálculo de integrais. A questão é calcular a integral definida de de 1 até . Para resolver isso, vamos precisar entender propriedades de logaritmos e exponenciais, além de saber como integrar funções básicas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão e^ln(x)2x = x2x . Sabemos que é igual a porque as funções exponencial e logaritmo natural são inversas. Então, substituindo na integral:

Passo 3

Agora, simplificamos 12 . Os no numerador e no denominador se cancelam, restando:

Passo 4

A integral agora está mais simples:
integral1^e 12 , dx
Isso significa que estamos calculando a área de um retângulo de altura e base de .

Passo 5

Vamos integrar integral 12 , dx = 12 x + C em relação a . A integral de uma constante em relação a é . Então:
Como é uma integral definida, não precisamos do .

Passo 6

Agora, aplicamos os limites de integração de 1 até [ 12 x ]1^e = 12 e - 12 times 1 = e2 - 12 :

Resposta

O valor da integral é .

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