Em cada um dos itens abaixo, determine uma função cuja derivada coincida com a função dada:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar uma função
cuja derivada seja igual a
. Isso envolve o conceito de anti-derivada ou primitiva, que é basicamente inverter o processo de derivação para achar a função original. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos dividir a função
em duas partes para facilitar a integração:
Assim, podemos tratar cada termo separadamente.
Passo 3
Vamos começar integrando o primeiro termo
. A integral de
em relação a
é bem conhecida:
Onde
é o logaritmo natural de
e
é a constante de integração.
Passo 4
Agora, vamos integrar o segundo termo
. Observe que a derivada do denominador
é
, o que está relacionado ao numerador
. Podemos usar uma substituição simples. Vamos deixar claro:
Seja
, então
, ou seja,
.
Passo 5
Usando a substituição, a integral fica:
Passo 6
Agora, juntando as integrais dos dois termos, temos:
Resposta
A função cuja derivada é
é:
Exercícios relacionados
Em cada um dos itens abaixo, determine uma função cuja derivada coincida com a função dada:
Em cada um dos itens abaixo, determine uma função cuja derivada coincida com a função dada:
Uma função
é ímpar se
para todo
. Supondo que
é contínua e ímpar, resolva os itens abaixo:
© Interprete geometricamente o resultado do item (b).
© Interprete geometricamente o resultado do item (b).
Estude como decidir que uma função é injetora (invertível).