Em cada um dos itens abaixo, determine uma função cuja derivada coincida com a função dada:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar uma função cuja derivada seja igual a . Isso envolve o conceito de anti-derivada ou primitiva, que é basicamente inverter o processo de derivação para achar a função original. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos dividir a função em duas partes para facilitar a integração:
Assim, podemos tratar cada termo separadamente.

Passo 3

Vamos começar integrando o primeiro termo . A integral de em relação a é bem conhecida:
Onde é o logaritmo natural de e é a constante de integração.

Passo 4

Agora, vamos integrar o segundo termo . Observe que a derivada do denominador é , o que está relacionado ao numerador . Podemos usar uma substituição simples. Vamos deixar claro:
Seja , então , ou seja, .

Passo 5

Usando a substituição, a integral fica:

Passo 6

Agora, juntando as integrais dos dois termos, temos:

Resposta

A função cuja derivada é é:

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Em cada um dos itens abaixo, determine uma função cuja derivada coincida com a função dada:
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Uma função é ímpar se para todo . Supondo que é contínua e ímpar, resolva os itens abaixo:
© Interprete geometricamente o resultado do item (b).
Estude como decidir que uma função é injetora (invertível).