Uma função
é ímpar se
para todo
. Supondo que
é contínua e ímpar, resolva os itens abaixo:
© Interprete geometricamente o resultado do item (b).
© Interprete geometricamente o resultado do item (b).
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre funções ímpares, que são aquelas onde, se você trocar o x por -x, o y também vira -y. Hoje vamos interpretar, de forma geométrica, o que isso significa para o gráfico dessa função. Para isso, vamos precisar entender o que é simetria em relação à origem.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é simetria em relação à origem. Imagina que você tem um ponto no gráfico, digamos (x, y). Se a função é ímpar, então o ponto (-x, -y) também estará no gráfico. Isso cria uma espécie de “espelho” passando pelo ponto (0,0).
Passo 3
Agora, pensando geometria, essa simetria faz com que se você rotacionar o gráfico da função ímpar 180 graus ao redor da origem, ele fique exatamente sobre si mesmo. Isso significa que o gráfico tem uma harmonia e equilíbrio especiais em relação ao centro do sistema de coordenadas.
Passo 4
Para visualizar isso, desenhe um ponto qualquer no primeiro quadrante (onde x e y são positivos). De acordo com a função ímpar, deve existir um ponto correspondente no terceiro quadrante (onde x e y são negativos). Essa relação se mantém para todos os pontos do gráfico.
Resposta
O gráfico de uma função ímpar é simétrico em relação à origem, ou seja, para cada ponto (x, y) no gráfico, existe o ponto (-x, -y), garantindo a simetria central.
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Em cada um dos itens abaixo, determine uma função cuja derivada coincida com a função dada:
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Estude como decidir que uma função é injetora (invertível).
Verifique que
satisfaz
.