Estude como decidir que uma função é injetora (invertível).

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a pergunta está pedindo. Queremos descobrir como decidir se uma função é injetora, ou seja, se ela é invertível. Para isso, vamos usar conceitos de funções injetoras, grafos de funções e propriedades de crescimento.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma função injetora. Uma função é injetora se cada elemento de é mapeado para um elemento distinto em . Isso significa que não existem dois elementos diferentes em que tenham a mesma imagem em .

Passo 3

Para verificar se uma função é injetora, podemos usar o teste horizontal no gráfico da função. Se qualquer linha horizontal interceptar o gráfico da função no máximo uma vez, então a função é injetora. Isso porque não há dois pontos com o mesmo valor de .

Passo 4

Outra maneira de testar a injetividade é usando a definição diretamente. Vamos supor que . Se conseguirmos mostrar que isso implica necessariamente que , então a função é injetora.

Passo 5

Vamos aplicar isso a um exemplo concreto. Suponha que temos a função . Queremos verificar se ela é injetora.
Primeiro, assumimos que :
Subtraindo 3 de ambos os lados:
Dividindo por 2:
Como chegamos a , a função é injetora.

Passo 6

Também podemos verificar a derivada da função se ela for diferenciável. Se a derivada for sempre positiva ou sempre negativa, isso indica que a função é estritamente crescente ou estritamente decrescente, respectivamente, o que garante que a função é injetora.
No nosso exemplo , a derivada é:
Como para todo , a função é estritamente crescente e, portanto, injetora.

Resposta

Portanto, para decidir se uma função é injetora (invertível), verificamos se cada elemento do domínio mapeia para um único elemento no contradomínio, utilizando testes como o teste horizontal no gráfico, a definição direta , ou analisando a derivada para garantir que a função é estritamente crescente ou decrescente. Se a funç��o passar por esses testes, ela é injetora e, consequentemente, invertível.

Exercícios relacionados

Uma função é ímpar se para todo . Supondo que é contínua e ímpar, resolva os itens abaixo:
© Interprete geometricamente o resultado do item (b).
Em cada um dos itens abaixo, determine uma função cuja derivada coincida com a função dada:
Verifique que satisfaz .
Calcule .