Estude como decidir que uma função é injetora (invertível).
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a pergunta está pedindo. Queremos descobrir como decidir se uma função é injetora, ou seja, se ela é invertível. Para isso, vamos usar conceitos de funções injetoras, grafos de funções e propriedades de crescimento.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma função injetora. Uma função
é injetora se cada elemento de
é mapeado para um elemento distinto em
. Isso significa que não existem dois elementos diferentes em
que tenham a mesma imagem em
.
Passo 3
Para verificar se uma função é injetora, podemos usar o teste horizontal no gráfico da função. Se qualquer linha horizontal interceptar o gráfico da função no máximo uma vez, então a função é injetora. Isso porque não há dois pontos com o mesmo valor de
.
Passo 4
Outra maneira de testar a injetividade é usando a definição diretamente. Vamos supor que
. Se conseguirmos mostrar que isso implica necessariamente que
, então a função é injetora.
Passo 5
Vamos aplicar isso a um exemplo concreto. Suponha que temos a função
. Queremos verificar se ela é injetora.
Primeiro, assumimos que
:
Subtraindo 3 de ambos os lados:
Dividindo por 2:
Como chegamos a
, a função é injetora.
Passo 6
Também podemos verificar a derivada da função se ela for diferenciável. Se a derivada
for sempre positiva ou sempre negativa, isso indica que a função é estritamente crescente ou estritamente decrescente, respectivamente, o que garante que a função é injetora.
No nosso exemplo
, a derivada é:
Como
para todo
, a função é estritamente crescente e, portanto, injetora.
Resposta
Portanto, para decidir se uma função é injetora (invertível), verificamos se cada elemento do domínio mapeia para um único elemento no contradomínio, utilizando testes como o teste horizontal no gráfico, a definição direta
, ou analisando a derivada para garantir que a função é estritamente crescente ou decrescente. Se a funç��o passar por esses testes, ela é injetora e, consequentemente, invertível.
Exercícios relacionados
Uma função
é ímpar se
para todo
. Supondo que
é contínua e ímpar, resolva os itens abaixo:
© Interprete geometricamente o resultado do item (b).
© Interprete geometricamente o resultado do item (b).
Em cada um dos itens abaixo, determine uma função cuja derivada coincida com a função dada:
Verifique que
satisfaz
.
Calcule
.