Em cada um dos itens abaixo, determine se a função dada é injetora, sobrejetora, bijetora. f:[0, infinito) -> R dada por f(x) = x^2 + 4.

Passo 1

Beleza! Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma função definida por . A gente precisa descobrir se essa função é injetora, sobrejetora ou bijetora. Para isso, vamos usar os conceitos de injeção, sobrejeção e bijeção, que são fundamentais no estudo de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa cada termo:
  • Função Injetora: Uma função é injetora se, para cada valor diferente de , o valor de também é diferente. Em outras palavras, não tem dois distintos que dão o mesmo .
  • Função Sobrejetora: Uma função é sobrejetora se todo valor do conjunto de chegada ( , no nosso caso) é atingido por pelo menos um valor do domínio ( ).
  • Função Bijetora: Uma função é bijetora se ela é ao mesmo tempo injetora e sobrejetora.
Vamos analisar cada um desses pontos para a função .

Passo 3

Analisando a Injetividade:
Para verificar se é injetora, vamos supor que e ver se isso implica que .
Subtraindo 4 de ambos os lados:
Isso implica que:
No entanto, nosso domínio é , ou seja, estamos considerando apenas números não negativos. Portanto, só pode ser verdadeiro se ambos forem zero. Assim, para qualquer e em , se , então necessariamente . Logo, é injetora.

Passo 4

Analisando a Sobrejetividade:
Agora, vamos verificar se é sobrejetora. Precisamos ver se, para todo em , existe um em tal que .
A função é:
Vamos resolver para :
Para que seja real e pertença a , o que está dentro da raiz precisa ser não negativo:
Isso significa que só pode assumir valores maiores ou iguais a 4. Portanto, nem todo em é atingido por . Especificamente, valores menores que 4 não têm um pré-imagem em . Logo, não é sobrejetora.

Passo 5

Conclusão sobre a Bijetividade:
Já que é injetora, mas não é sobrejetora, ela não pode ser bijetora. Para ser bijetora, a função precisa ser as duas coisas ao mesmo tempo. Portanto, é injetora, não é sobrejetora e, por consequência, não é bijetora.

Resposta

A função definida em é injetora, não é sobrejetora e, portanto, não é bijetora.

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