Em cada um dos itens abaixo, determine se a função dada é injetora, sobrejetora, bijetora.
dada por
.
Passo 1
Beleza! Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma função
definida por
. A gente precisa descobrir se essa função é injetora, sobrejetora ou bijetora. Para isso, vamos usar os conceitos de injeção, sobrejeção e bijeção, que são fundamentais no estudo de funções.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa cada termo:
-
Função Injetora: Uma função é injetora se, para cada valor diferente de
, o valor de também é diferente. Em outras palavras, não tem dois distintos que dão o mesmo . -
Função Sobrejetora: Uma função é sobrejetora se todo valor do conjunto de chegada (
, no nosso caso) é atingido por pelo menos um valor do domínio ( ). -
Função Bijetora: Uma função é bijetora se ela é ao mesmo tempo injetora e sobrejetora.
Vamos analisar cada um desses pontos para a função
.
Passo 3
Analisando a Injetividade:
Para verificar se
é injetora, vamos supor que
e ver se isso implica que
.
Subtraindo 4 de ambos os lados:
Isso implica que:
No entanto, nosso domínio é
, ou seja, estamos considerando apenas números não negativos. Portanto,
só pode ser verdadeiro se ambos forem zero. Assim, para qualquer
e
em
, se
, então necessariamente
. Logo,
é injetora.
Passo 4
Analisando a Sobrejetividade:
Agora, vamos verificar se
é sobrejetora. Precisamos ver se, para todo
em
, existe um
em
tal que
.
A função é:
Vamos resolver para
:
Para que
seja real e pertença a
, o que está dentro da raiz precisa ser não negativo:
Isso significa que
só pode assumir valores maiores ou iguais a 4. Portanto, nem todo
em
é atingido por
. Especificamente, valores menores que 4 não têm um pré-imagem em
. Logo,
não é sobrejetora.
Passo 5
Conclusão sobre a Bijetividade:
Já que
é injetora, mas não é sobrejetora, ela não pode ser bijetora. Para ser bijetora, a função precisa ser as duas coisas ao mesmo tempo. Portanto,
é injetora, não é sobrejetora e, por consequência, não é bijetora.
Resposta
A função
definida em
é injetora, não é sobrejetora e, portanto, não é bijetora.