Determine o maior conjunto A tal que Im(f) subset Dg e em seguida construa a composta h(x) = g(f(x)). g(x) = raiz(x) e f: A -> R, f(x) = x^2 - x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o maior conjunto tal que a imagem da função esteja dentro do domínio da função . Depois, temos que construir a função composta . Aqui, e .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a imagem de estar dentro do domínio de . O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida. Para , o domínio é todos os números reais não negativos, ou seja, .

Passo 3

Agora, precisamos garantir que a imagem de , que é , esteja dentro desse domínio. Ou seja, queremos que .

Passo 4

Vamos resolver a inequação . Para isso, fatoramos a expressão:

Passo 5

Agora, analisamos os intervalos onde .
  • Quando , é negativo ou zero, e também é negativo ou zero. O produto de dois números negativos é positivo.
  • Quando , é positivo, mas é negativo, então o produto é negativo.
  • Quando , ambos e são positivos, então o produto é positivo.

Passo 6

Portanto, a solução para a inequação é:

Passo 7

Assim, o maior conjunto que satisfaz é:

Passo 8

Agora, vamos construir a função composta . Substituindo em :

Resposta

O maior conjunto é e a função composta é .

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