Em cada um dos itens abaixo, determine se a função dada é injetora, sobrejetora, bijetora.
dada por
.
Passo 1
Vamos lá! A gente tem que determinar se a função
definida por
é injetora, sobrejetora ou bijetora. Para isso, vamos precisar entender o que cada um desses termos significa e aplicar essas definições à nossa função.
Passo 2
Primeiro, vamos ver se a função é injetora. Uma função é injetora se elementos diferentes no domínio têm imagens diferentes. Ou seja, se
implica que
.
Vamos verificar isso para nossa função:
Se
e
, então se
, temos:
Subtraindo 1 de ambos os lados:
Dividindo por 5:
Como chegamos a
, isso mostra que a função
é injetora.
Passo 3
Agora, vamos verificar se a função é sobrejetora. Uma função é sobrejetora se todo elemento do contradomínio (no caso, todo número real) é imagem de algum elemento do domínio. Ou seja, para todo
, existe um
tal que
.
Para nossa função
, vamos resolver para
:
Subtraindo 1 de ambos os lados:
Dividindo por 5:
Como para qualquer
real existe um
real que satisfaz essa equação, a função
é sobrejetora.
Passo 4
Por fim, uma função é bijetora se ela for tanto injetora quanto sobrejetora. Como já mostramos nos passos anteriores que
é injetora e sobrejetora, podemos concluir que
é bijetora.
Resposta
A função
é injetora, sobrejetora e, portanto, bijetora.