Em cada um dos itens abaixo, determine se a função dada é injetora, sobrejetora, bijetora. f: R -> R dada por f(x) = 5x + 1.

Passo 1

Vamos lá! A gente tem que determinar se a função definida por é injetora, sobrejetora ou bijetora. Para isso, vamos precisar entender o que cada um desses termos significa e aplicar essas definições à nossa função.

Passo 2

Primeiro, vamos ver se a função é injetora. Uma função é injetora se elementos diferentes no domínio têm imagens diferentes. Ou seja, se implica que .
Vamos verificar isso para nossa função:
Se e , então se , temos:
Subtraindo 1 de ambos os lados:
Dividindo por 5:
Como chegamos a , isso mostra que a função é injetora.

Passo 3

Agora, vamos verificar se a função é sobrejetora. Uma função é sobrejetora se todo elemento do contradomínio (no caso, todo número real) é imagem de algum elemento do domínio. Ou seja, para todo , existe um tal que .
Para nossa função , vamos resolver para :
Subtraindo 1 de ambos os lados:
Dividindo por 5:
Como para qualquer real existe um real que satisfaz essa equação, a função é sobrejetora.

Passo 4

Por fim, uma função é bijetora se ela for tanto injetora quanto sobrejetora. Como já mostramos nos passos anteriores que é injetora e sobrejetora, podemos concluir que é bijetora.

Resposta

A função é injetora, sobrejetora e, portanto, bijetora.

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