O movimento de um projétil lançado para cima verticalmente é descrito pela função h(t) = -20 t^2 + 80 t, onde h representa a altura, em metros, atingida pelo projétil, t segundos após o lançamento. Determine a altura máxima atingida e o tempo que o projétil permanece no ar.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função que descreve a altura de um projétil lançado para cima: . Aqui, é a altura em metros, e é o tempo em segundos após o lançamento. Nosso objetivo é descobrir qual foi a altura máxima que o projétil atingiu e quanto tempo ele ficou no ar.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o tempo em que o projétil atinge a altura máxima. Para isso, precisamos identificar o ponto de máximo da função quadrática .
Na matemática, uma função quadrática tem a forma geral . O ponto de máximo ou mínimo dessa função ocorre no tempo .
No nosso caso, e . Então:

Passo 3

Agora que sabemos que o projétil atinge a altura máxima aos 2 segundos, vamos calcular qual é essa altura.
Substituímos na função :
Portanto, a altura máxima atingida pelo projétil é de 80 metros.

Passo 4

Para determinar quanto tempo o projétil permanece no ar, precisamos encontrar o tempo total desde o lançamento até ele retornar ao solo, ou seja, quando .
Vamos resolver a equação :
Isso nos dá duas soluções:
  1. segundos (o momento do lançamento)
  2. segundos
Então, o projétil permanece no ar por 4 segundos.

Resposta

A altura máxima atingida pelo projétil é de 80 metros e ele permanece no ar por 4 segundos.

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