O movimento de um projétil lançado para cima verticalmente é descrito pela função
, onde
representa a altura, em metros, atingida pelo projétil,
segundos após o lançamento. Determine a altura máxima atingida e o tempo que o projétil permanece no ar.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função que descreve a altura de um projétil lançado para cima:
. Aqui,
é a altura em metros, e
é o tempo em segundos após o lançamento. Nosso objetivo é descobrir qual foi a altura máxima que o projétil atingiu e quanto tempo ele ficou no ar.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o tempo em que o projétil atinge a altura máxima. Para isso, precisamos identificar o ponto de máximo da função quadrática
.
Na matemática, uma função quadrática tem a forma geral
. O ponto de máximo ou mínimo dessa função ocorre no tempo
.
No nosso caso,
e
. Então:
Passo 3
Agora que sabemos que o projétil atinge a altura máxima aos 2 segundos, vamos calcular qual é essa altura.
Substituímos
na função
:
Portanto, a altura máxima atingida pelo projétil é de 80 metros.
Passo 4
Para determinar quanto tempo o projétil permanece no ar, precisamos encontrar o tempo total desde o lançamento até ele retornar ao solo, ou seja, quando
.
Vamos resolver a equação
:
Isso nos dá duas soluções:
-
segundos (o momento do lançamento) -
→ segundos
Então, o projétil permanece no ar por 4 segundos.
Resposta
A altura máxima atingida pelo projétil é de 80 metros e ele permanece no ar por 4 segundos.