Demonstre, utilizando a definição de limite, que: lim x -1(11 x+5)=-6.

Passo 1

Vamos resolver o limite lim x -1(11 x+5)=-6 usando a definição de limite. A definição de limite nos ajuda a provar que, à medida que x se aproxima de um valor específico, a função se aproxima de um determinado número. Para isso, vamos precisar trabalhar com varepsilon (erro permitido) e de (distância em x).

Passo 2

Segundo a definição de limite, queremos mostrar que para todo varepsilon > 0, existe um de 0 tal que sempre que 0 < |x - (-1)| < de, então |11x + 5 - (-6)| < varepsilon. Vamos simplificar isso passo a passo.

Passo 3

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro do valor absoluto:
|11x + 5 - (-6)| = |11x + 5 + 6| = |11x + 11|

Passo 4

Agora, fatoramos o 11:
|11x + 11| = 11|x + 1|
Queremos que isso seja menor que varepsilon:
11|x + 1| < varepsilon

Passo 5

Para encontrar de, resolvemos a inequação para |x + 1|:
|x + 1| < varepsilon11
Então, podemos escolher:
de

Passo 6

Com essa escolha de de, garantimos que sempre que 0 < |x + 1| < de, teremos:
11|x + 1| < 11 cdot varepsilon11 = varepsilon
Isso satisfaz a definição de limite.

Resposta

Portanto, demonstramos que lim x -1(11 x+5)=-6 utilizando a definição de limite.

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