Demonstre, utilizando a definição de limite, que:
.
Passo 1
Vamos resolver o limite
usando a definição de limite. A definição de limite nos ajuda a provar que, à medida que
se aproxima de um valor específico, a função se aproxima de um determinado número. Para isso, vamos precisar trabalhar com
(erro permitido) e
(distância em
).
Passo 2
Segundo a definição de limite, queremos mostrar que para todo
, existe um
tal que sempre que
, então
. Vamos simplificar isso passo a passo.
Passo 3
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro do valor absoluto:
Passo 4
Agora, fatoramos o 11:
Queremos que isso seja menor que
:
Passo 5
Para encontrar
, resolvemos a inequação para
:
Então, podemos escolher:
Passo 6
Com essa escolha de
, garantimos que sempre que
, teremos:
Isso satisfaz a definição de limite.
Resposta
Portanto, demonstramos que
utilizando a definição de limite.