Em cada um dos itens abaixo determine o gradiente da função f. Determine também a derivada direcional de f no ponto e na direção dados.
f(x, y) = e^(x sen(y)), P(0, pi/3), v = -6 i + 8 j.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo juntos! Aqui, a gente precisa encontrar o gradiente da função no ponto e também calcular a derivada direcional nessa direção. Para isso, vamos usar conceitos de derivadas parciais, gradiente e derivada direcional.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de em relação a e a . As derivadas parciais nos dizem como a função muda quando a gente varia uma das variáveis mantendo a outra fixa.
A derivada parcial de em relação a ( ) é:
Já a derivada parcial de em relação a ( ) é:

Passo 3

Agora, vamos calcular o gradiente de , que é um vetor formado pelas derivadas parciais que acabamos de encontrar:
Vamos avaliar esse gradiente no ponto :
Então, o gradiente no ponto é:

Passo 4

Para encontrar a derivada direcional, precisamos do vetor de direção unitário. Dado o vetor , vamos transformar isso em um vetor unitário dividindo pelo seu módulo.
Calculando o módulo de :
Então, o vetor unitário na direção de é:

Passo 5

Agora, vamos calcular a derivada direcional usando o gradiente e o vetor unitário:

Resposta

O gradiente da função no ponto é e a derivada direcional nessa dire��ão é .

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