Em cada um dos itens abaixo determine o gradiente da função
. Determine também a derivada direcional de
no ponto e na direção dados.
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo juntos! Aqui, a gente precisa encontrar o gradiente da função
no ponto
e também calcular a derivada direcional nessa direção. Para isso, vamos usar conceitos de derivadas parciais, gradiente e derivada direcional.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e a
. As derivadas parciais nos dizem como a função muda quando a gente varia uma das variáveis mantendo a outra fixa.
A derivada parcial de
em relação a
(
) é:
Já a derivada parcial de
em relação a
(
) é:
Passo 3
Agora, vamos calcular o gradiente de
, que é um vetor formado pelas derivadas parciais que acabamos de encontrar:
Vamos avaliar esse gradiente no ponto
:
Então, o gradiente no ponto
é:
Passo 4
Para encontrar a derivada direcional, precisamos do vetor de direção unitário. Dado o vetor
, vamos transformar isso em um vetor unitário dividindo pelo seu módulo.
Calculando o módulo de
:
Então, o vetor unitário na direção de
é:
Passo 5
Agora, vamos calcular a derivada direcional usando o gradiente e o vetor unitário:
Resposta
O gradiente da função
no ponto
é
e a derivada direcional nessa dire��ão é
.