Em cada um dos itens abaixo determine o gradiente da função . Determine também a derivada direcional de no ponto e na direção dados.
.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo juntos! Aqui, a gente precisa encontrar o gradiente da função no ponto e também calcular a derivada direcional nessa direção. Para isso, vamos usar conceitos de derivadas parciais, gradiente e derivada direcional.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de em relação a e a . As derivadas parciais nos dizem como a função muda quando a gente varia uma das variáveis mantendo a outra fixa.
A derivada parcial de em relação a ( ) é:
Já a derivada parcial de em relação a ( ) é:

Passo 3

Agora, vamos calcular o gradiente de , que é um vetor formado pelas derivadas parciais que acabamos de encontrar:
Vamos avaliar esse gradiente no ponto :
Então, o gradiente no ponto é:

Passo 4

Para encontrar a derivada direcional, precisamos do vetor de direção unitário. Dado o vetor , vamos transformar isso em um vetor unitário dividindo pelo seu módulo.
Calculando o módulo de :
Então, o vetor unitário na direção de é:

Passo 5

Agora, vamos calcular a derivada direcional usando o gradiente e o vetor unitário:

Resposta

O gradiente da função no ponto é e a derivada direcional nessa dire��ão é .

Exercícios relacionados

Determine as funções e tais que: e .
Use a Regra da Cadeia para achar a derivada em cada item abaixo.
, e .
Considere a função . Determine:
© Intervalos de crescimento, decrescimento e pontos de máximo e mínimo local;
Mostre que a função abaixo não é diferenciável no ponto .