Use a Regra da Cadeia para achar a derivada em cada item abaixo.
, e .

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa fazer aqui. A questão pede para a gente usar a Regra da Cadeia para encontrar a derivada . O enunciado nos dá:
Então, estamos lidando com derivadas compostas, onde depende de , e , que por sua vez dependem de . Vamos precisar aplicar a Regra da Cadeia para derivadas parciais aqui.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a Regra da Cadeia para funções de várias variáveis. Se e cada uma dessas variáveis depende de , então a derivada de em relação a é:
Ou seja, derivamos em relação a cada variável interna e multiplicamos pela derivada daquela variável em relação a .

Passo 3

Vamos calcular cada uma dessas derivadas parciais:
Primeiro, temos:
A derivada parcial de em relação a é:
Fazendo o mesmo para :
E para :

Passo 4

Agora, vamos encontrar as derivadas das variáveis internas em relação a :

Passo 5

Agora, vamos substituir todas essas derivadas na fórmula da Regra da Cadeia:

Passo 6

Podemos simplificar colocando todos os termos sobre o mesmo denominador:

Resposta

Portanto, a derivada é:

Exercícios relacionados

Considere a função . Determine:
(a) O domínio de e os pontos de interseção de seu gráfico com os eixos coordenados;
Determine o valor de para que a função
seja contínua.
Determine as funções e tais que: e .
Em cada um dos itens abaixo determine o gradiente da função . Determine também a derivada direcional de no ponto e na direção dados.
.