Use a Regra da Cadeia para achar a derivada
em cada item abaixo.
,
e
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa fazer aqui. A questão pede para a gente usar a Regra da Cadeia para encontrar a derivada
. O enunciado nos dá:
Então, estamos lidando com derivadas compostas, onde
depende de
,
e
, que por sua vez dependem de
. Vamos precisar aplicar a Regra da Cadeia para derivadas parciais aqui.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a Regra da Cadeia para funções de várias variáveis. Se
e cada uma dessas variáveis depende de
, então a derivada de
em relação a
é:
Ou seja, derivamos
em relação a cada variável interna e multiplicamos pela derivada daquela variável em relação a
.
Passo 3
Vamos calcular cada uma dessas derivadas parciais:
Primeiro, temos:
A derivada parcial de
em relação a
é:
Fazendo o mesmo para
:
E para
:
Passo 4
Agora, vamos encontrar as derivadas das variáveis internas em relação a
:
Passo 5
Agora, vamos substituir todas essas derivadas na fórmula da Regra da Cadeia:
Passo 6
Podemos simplificar colocando todos os termos sobre o mesmo denominador:
Resposta
Portanto, a derivada
é:
Exercícios relacionados
Considere a função
. Determine:
(a) O domínio de e os pontos de interseção de seu gráfico com os eixos coordenados;
(a) O domínio de
Determine o valor de
para que a função
seja contínua.
Determine as funções
e
tais que:
e
.
Em cada um dos itens abaixo determine o gradiente da função
. Determine também a derivada direcional de
no ponto e na direção dados.
.