Use a Regra da Cadeia para achar a derivada d z / d t em cada item abaixo.
w = ln(x^2 + y^2 + w^2), com x = sen(t), y = cos(t) e w = tg(t).

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa fazer aqui. A questão pede para a gente usar a Regra da Cadeia para encontrar a derivada . O enunciado nos dá:
Então, estamos lidando com derivadas compostas, onde depende de , e , que por sua vez dependem de . Vamos precisar aplicar a Regra da Cadeia para derivadas parciais aqui.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a Regra da Cadeia para funções de várias variáveis. Se e cada uma dessas variáveis depende de , então a derivada de em relação a é:
Ou seja, derivamos em relação a cada variável interna e multiplicamos pela derivada daquela variável em relação a .

Passo 3

Vamos calcular cada uma dessas derivadas parciais:
Primeiro, temos:
A derivada parcial de em relação a é:
Fazendo o mesmo para :
E para :

Passo 4

Agora, vamos encontrar as derivadas das variáveis internas em relação a :

Passo 5

Agora, vamos substituir todas essas derivadas na fórmula da Regra da Cadeia:

Passo 6

Podemos simplificar colocando todos os termos sobre o mesmo denominador:

Resposta

Portanto, a derivada é:

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