Mostre que a função abaixo não é diferenciável no ponto
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que mostrar que a função
não é diferenciável no ponto
. Isso está dentro da matéria de cálculo, mais especificamente sobre diferenciação de funções de várias variáveis. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser diferenciável e usar alguns testes para verificar isso.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa que uma função seja diferenciável em um ponto. Basicamente, uma função
é diferenciável em
se ela pode ser bem aproximada por um plano tangente nesse ponto. Matematicamente, isso quer dizer que a aproximação linear da função existe e é uma boa aproximação perto desse ponto.
Passo 3
Para verificar se
é diferenciável em
, podemos começar calculando as derivadas parciais de
em relação a
e
nesse ponto. Se as derivadas existirem e a função for contínua nesse ponto, isso é um bom indicativo de que a função pode ser diferenciável. Porém, a existência das derivadas parciais não garante a diferenciabilidade, então precisamos verificar mais a fundo.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas parciais de
em
. Para
, usamos:
E para
:
Então, ambas as derivadas parciais existem e são iguais a zero em
.
Passo 5
Agora, vamos verificar se a função é contínua em
. Para isso, vamos calcular o limite de
quando
se aproxima de
. Se o limite existir e for igual a
, que é zero, então a função é contínua.
Escolhendo diferentes caminhos para se aproximar de
:
- Se
, então , e . - Se
, então , e . - Se
, então , e .
Parece que o limite é sempre zero, então a função é contínua em
.
Passo 6
Apesar das derivadas parciais existirem e a função ser contínua, ainda precisamos verificar a diferenciabilidade. Para isso, usamos a definição:
é diferenciável em
se
Como
e as derivadas parciais em
são zero, a expressão simplifica para:
Passo 7
Vamos calcular esse limite. Substituindo
:
Agora, vamos avaliar esse limite ao longo de diferentes caminhos:
- Se
, a expressão fica , então o limite é 1. - Se
, a expressão é 0. - Se
, a expressão fica .
Como os limites são diferentes dependendo do caminho escolhido, o limite geral não existe ou não é igual a zero.
Resposta
Portanto, como o limite
não é igual a zero, a função
não é diferenciável no ponto
.
Exercícios relacionados
Considere a função
. Determine:
© Intervalos de crescimento, decrescimento e pontos de máximo e mínimo local;
© Intervalos de crescimento, decrescimento e pontos de máximo e mínimo local;
Em cada um dos itens abaixo determine o gradiente da função
. Determine também a derivada direcional de
no ponto e na direção dados.
.
Considere a função
. Determine:
(d) Intervalos de concavidade e pontos de inflexão;
(d) Intervalos de concavidade e pontos de inflexão;
Verifique se a função dada é diferenciável.