Mostre que a função abaixo não é diferenciável no ponto .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que mostrar que a função não é diferenciável no ponto . Isso está dentro da matéria de cálculo, mais especificamente sobre diferenciação de funções de várias variáveis. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser diferenciável e usar alguns testes para verificar isso.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa que uma função seja diferenciável em um ponto. Basicamente, uma função é diferenciável em se ela pode ser bem aproximada por um plano tangente nesse ponto. Matematicamente, isso quer dizer que a aproximação linear da função existe e é uma boa aproximação perto desse ponto.

Passo 3

Para verificar se é diferenciável em , podemos começar calculando as derivadas parciais de em relação a e nesse ponto. Se as derivadas existirem e a função for contínua nesse ponto, isso é um bom indicativo de que a função pode ser diferenciável. Porém, a existência das derivadas parciais não garante a diferenciabilidade, então precisamos verificar mais a fundo.

Passo 4

Vamos calcular as derivadas parciais de em . Para , usamos:
E para :
Então, ambas as derivadas parciais existem e são iguais a zero em .

Passo 5

Agora, vamos verificar se a função é contínua em . Para isso, vamos calcular o limite de quando se aproxima de . Se o limite existir e for igual a , que é zero, então a função é contínua.
Escolhendo diferentes caminhos para se aproximar de :
  • Se , então , e .
  • Se , então , e .
  • Se , então , e .
Parece que o limite é sempre zero, então a função é contínua em .

Passo 6

Apesar das derivadas parciais existirem e a função ser contínua, ainda precisamos verificar a diferenciabilidade. Para isso, usamos a definição: é diferenciável em se
Como e as derivadas parciais em são zero, a expressão simplifica para:

Passo 7

Vamos calcular esse limite. Substituindo :
Agora, vamos avaliar esse limite ao longo de diferentes caminhos:
  • Se , a expressão fica , então o limite é 1.
  • Se , a expressão é 0.
  • Se , a expressão fica .
Como os limites são diferentes dependendo do caminho escolhido, o limite geral não existe ou não é igual a zero.

Resposta

Portanto, como o limite não é igual a zero, a função não é diferenciável no ponto .

Exercícios relacionados

Considere a função . Determine:
© Intervalos de crescimento, decrescimento e pontos de máximo e mínimo local;
Em cada um dos itens abaixo determine o gradiente da função . Determine também a derivada direcional de no ponto e na direção dados.
.
Considere a função . Determine:
(d) Intervalos de concavidade e pontos de inflexão;
Verifique se a função dada é diferenciável.