Considere a função
. Determine:
© Intervalos de crescimento, decrescimento e pontos de máximo e mínimo local;
© Intervalos de crescimento, decrescimento e pontos de máximo e mínimo local;
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos a função
e queremos descobrir onde ela está crescendo, onde está decrescendo e identificar possíveis pontos de máximo e mínimo local. Para isso, vamos usar conceitos de derivadas da matemática, que nos ajudam a entender o comportamento das funções em termos de crescimento e decrescimento.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a derivada da função
. A derivada nos dá a taxa de variação da função, ou seja, como ela está mudando em cada ponto. Para derivar
, vamos usar a regra do quociente, que é aplicada quando temos uma fração onde tanto o numerador quanto o denominador são funções de
.
A regra do quociente é dada por:
Onde
e
.
Calculando as derivadas:
Aplicando a regra:
Passo 3
Agora que temos a derivada
, vamos analisar onde ela é positiva, negativa ou igual a zero. Isso vai nos indicar onde a função
está crescendo ou decrescendo.
Primeiro, observamos que o denominador
é sempre positivo, exceto onde ele é zero, ou seja, quando
. Portanto, a sinal da derivada é determinada apenas pelo numerador
.
Simplificando o numerador:
Como
é sempre positivo ou zero,
é sempre positivo, e então
é sempre negativo.
Isso significa que
é sempre negativo onde a função está definida.
Passo 4
Com a derivada sempre negativa, concluímos que a função
está sempre decrescendo em seu domínio. Além disso, como a derivada nunca é zero, não há pontos onde a inclinação da função muda de crescente para decrescente ou vice-versa, o que implica que não existem pontos de máximo ou mínimo local na função.
Resposta
A função
está sempre decrescendo em todo o seu domínio. Não possui pontos de máximo ou mínimo local.
Exercícios relacionados
Em cada um dos itens abaixo determine o gradiente da função
. Determine também a derivada direcional de
no ponto e na direção dados.
.
Determine as funções
e
tais que:
e
.
Mostre que a função abaixo não é diferenciável no ponto
.
Considere a função
. Determine:
(d) Intervalos de concavidade e pontos de inflexão;
(d) Intervalos de concavidade e pontos de inflexão;