Considere a função . Determine:
© Intervalos de crescimento, decrescimento e pontos de máximo e mínimo local;

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos a função e queremos descobrir onde ela está crescendo, onde está decrescendo e identificar possíveis pontos de máximo e mínimo local. Para isso, vamos usar conceitos de derivadas da matemática, que nos ajudam a entender o comportamento das funções em termos de crescimento e decrescimento.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a derivada da função . A derivada nos dá a taxa de variação da função, ou seja, como ela está mudando em cada ponto. Para derivar , vamos usar a regra do quociente, que é aplicada quando temos uma fração onde tanto o numerador quanto o denominador são funções de .
A regra do quociente é dada por:
Onde e .
Calculando as derivadas:
Aplicando a regra:

Passo 3

Agora que temos a derivada , vamos analisar onde ela é positiva, negativa ou igual a zero. Isso vai nos indicar onde a função está crescendo ou decrescendo.
Primeiro, observamos que o denominador é sempre positivo, exceto onde ele é zero, ou seja, quando . Portanto, a sinal da derivada é determinada apenas pelo numerador .
Simplificando o numerador:
Como é sempre positivo ou zero, é sempre positivo, e então é sempre negativo.
Isso significa que é sempre negativo onde a função está definida.

Passo 4

Com a derivada sempre negativa, concluímos que a função está sempre decrescendo em seu domínio. Além disso, como a derivada nunca é zero, não há pontos onde a inclinação da função muda de crescente para decrescente ou vice-versa, o que implica que não existem pontos de máximo ou mínimo local na função.

Resposta

A função está sempre decrescendo em todo o seu domínio. Não possui pontos de máximo ou mínimo local.

Exercícios relacionados

Em cada um dos itens abaixo determine o gradiente da função . Determine também a derivada direcional de no ponto e na direção dados.
.
Determine as funções e tais que: e .
Mostre que a função abaixo não é diferenciável no ponto .
Considere a função . Determine:
(d) Intervalos de concavidade e pontos de inflexão;