Determine as funções f e g tais que: f'(x) = (2 + x^2) / (1 + x^2) e g'(x) = 4 sen(x) + (2 x^5 - raiz(x)) / x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as funções e sabendo as suas derivadas. Isso envolve calcular integrais, que é parte da matéria de cálculo. Para isso, vamos precisar lembrar das regras básicas de integração e como simplificar expressões antes de integrar.

Passo 2

Vamos começar com a função . Sabemos que . Antes de integrar, vamos ver se dá pra simplificar essa fração:
Agora, a expressão ficou mais fácil de integrar.

Passo 3

Agora, vamos integrar :
A gente sabe que:
e
Então, juntando tudo:
onde é a constante de integração.

Passo 4

Agora, vamos para a função . Temos . Vamos simplificar essa expressão antes de integrar:
Então, a derivada fica:

Passo 5

Agora, vamos integrar cada termo de :
Calculando cada integral:
Juntando tudo:
onde é a constante de integração.

Resposta

As funções e são dadas por:
onde é uma constante qualquer.

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