Determine as funções
e
tais que:
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as funções
e
sabendo as suas derivadas. Isso envolve calcular integrais, que é parte da matéria de cálculo. Para isso, vamos precisar lembrar das regras básicas de integração e como simplificar expressões antes de integrar.
Passo 2
Vamos começar com a função
. Sabemos que
. Antes de integrar, vamos ver se dá pra simplificar essa fração:
Agora, a expressão ficou mais fácil de integrar.
Passo 3
Agora, vamos integrar
:
A gente sabe que:
e
Então, juntando tudo:
onde
é a constante de integração.
Passo 4
Agora, vamos para a função
. Temos
. Vamos simplificar essa expressão antes de integrar:
Então, a derivada fica:
Passo 5
Agora, vamos integrar cada termo de
:
Calculando cada integral:
Juntando tudo:
onde
é a constante de integração.
Resposta
As funções
e
são dadas por:
onde
é uma constante qualquer.
Exercícios relacionados
Use a Regra da Cadeia para achar a derivada
em cada item abaixo.
,
e
.
Considere a função
. Determine:
(a) O domínio de e os pontos de interseção de seu gráfico com os eixos coordenados;
(a) O domínio de
Em cada um dos itens abaixo determine o gradiente da função
. Determine também a derivada direcional de
no ponto e na direção dados.
.
Considere a função
. Determine:
© Intervalos de crescimento, decrescimento e pontos de máximo e mínimo local;
© Intervalos de crescimento, decrescimento e pontos de máximo e mínimo local;