Determine (caso existam) os máximos e mínimos globais das funções apresentadas abaixo, nos respectivos intervalos.
em
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para a gente encontrar os máximos e mínimos globais da função
no intervalo
. Isso envolve entender um pouco de cálculo, especialmente sobre como identificar pontos onde a função atinge seus valores mais altos e mais baixos dentro desse intervalo.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a função para facilitar a análise. A função dada é:
Podemos reescrever isso como:
Isso ajuda a ver mais claramente como a função se comporta.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar os pontos críticos da função, ou seja, onde a derivada da função é igual a zero ou não existe. Vamos calcular a derivada de
.
A derivada de
é:
Para encontrar os pontos críticos, igualamos a derivada a zero:
Isso acontece quando o numerador é zero:
Então, temos um ponto crítico em
.
Passo 4
Agora, vamos avaliar a função nos pontos críticos e nas extremidades do intervalo para determinar onde estão os máximos e mínimos.
Nos pontos do intervalo
:
- Em
:
- Em
:
- Em
:
Resposta
A função
no intervalo
tem um mínimo global em
com valor
e máximos globais nos pontos
e
com valor
.
Exercícios relacionados
Calcule os limites abaixo.
.
Determine o polinômio de Taylor de ordem 2 das funções abaixo em torno dos pontos indicados. Esboce os gráficos da função e de seu polinômio de Taylor de ordem 2.
.
Determine (caso existam) os máximos e mínimos globais das funções apresentadas abaixo, nos respectivos intervalos.
Em cada um dos itens abaixo, determine:
- os intervalos nos quais
é crescente ou decrescente; - os valores de máximo e mínimo locais de
; - os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão de
.