Determine (caso existam) os máximos e mínimos globais das funções apresentadas abaixo, nos respectivos intervalos.
1/((1+x)(1-x)) em [-1/2, 1/2]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para a gente encontrar os máximos e mínimos globais da função no intervalo . Isso envolve entender um pouco de cálculo, especialmente sobre como identificar pontos onde a função atinge seus valores mais altos e mais baixos dentro desse intervalo.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a função para facilitar a análise. A função dada é:
Podemos reescrever isso como:
Isso ajuda a ver mais claramente como a função se comporta.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar os pontos críticos da função, ou seja, onde a derivada da função é igual a zero ou não existe. Vamos calcular a derivada de .
A derivada de é:
Para encontrar os pontos críticos, igualamos a derivada a zero:
Isso acontece quando o numerador é zero:
Então, temos um ponto crítico em .

Passo 4

Agora, vamos avaliar a função nos pontos críticos e nas extremidades do intervalo para determinar onde estão os máximos e mínimos.
Nos pontos do intervalo :
  • Em :
  • Em :
  • Em :

Resposta

A função no intervalo tem um mínimo global em com valor e máximos globais nos pontos e com valor .

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