Determine
sabendo que
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a função vetor
sabendo que sua derivada em relação ao tempo
é
e que
. Aqui estamos trabalhando com cálculo vetorial, especificamente com integrais de funções vetoriais. Para resolver, vamos integrar cada componente da derivada e usar a condição inicial para achar as constantes de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que
nos dá a taxa de variação da posição
em relação ao tempo. Para encontrar
, precisamos integrar cada componente dessa derivada em relação a
.
Passo 3
Vamos integrar a componente na direção
:
Aqui, reconhecemos que a integral de
é
. No nosso caso,
porque
. Então:
Passo 4
Agora, vamos integrar a componente na direção
:
A integral de
é
, então:
Passo 5
Por último, integraremos a componente na direção
:
Aqui, a integral de uma constante 1 em relação a
é simplesmente
.
Passo 6
Agora, juntamos todas as componentes integradas para formar a função vetor
:
Passo 7
Para encontrar as constantes de integração
,
e
, usamos a condição inicial
. Vamos substituir
na expressão de
:
Sabemos que
e
, então:
Isso nos dá as equações:
Resposta
Portanto, a função vetor
é: