Determine vec(r) = vec(r)(t) sabendo que d vec(r)/d t = 1/(1+4 t^2) vec(i) + e^(-t) vec(j) + vec(k) e r(0) = k.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a função vetor sabendo que sua derivada em relação ao tempo é e que . Aqui estamos trabalhando com cálculo vetorial, especificamente com integrais de funções vetoriais. Para resolver, vamos integrar cada componente da derivada e usar a condição inicial para achar as constantes de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que nos dá a taxa de variação da posição em relação ao tempo. Para encontrar , precisamos integrar cada componente dessa derivada em relação a .

Passo 3

Vamos integrar a componente na direção :
Aqui, reconhecemos que a integral de é . No nosso caso, porque . Então:

Passo 4

Agora, vamos integrar a componente na direção :
A integral de é , então:

Passo 5

Por último, integraremos a componente na direção :
Aqui, a integral de uma constante 1 em relação a é simplesmente .

Passo 6

Agora, juntamos todas as componentes integradas para formar a função vetor :

Passo 7

Para encontrar as constantes de integração , e , usamos a condição inicial . Vamos substituir na expressão de :
Sabemos que e , então:
Isso nos dá as equações:

Resposta

Portanto, a função vetor é:

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