Em cada dos itens abaixo, determine o maior conjunto onde a função
é contínua.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos o maior conjunto onde a função
é contínua. Aqui, vamos explorar conceitos de continuidade e domínio de uma função para chegar à solução.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender onde a função
está definida, ou seja, onde ela existe. Para isso, vamos analisar o denominador da fração:
.
Passo 3
A expressão dentro da raiz quadrada,
, deve ser maior que zero para que a raiz seja um número real. Então, temos:
Passo 4
Resolvendo a inequação
:
Isso significa que
deve ser maior que 1 ou menor que -1. Em intervalos, isso é representado por
ou
.
Passo 5
Além disso, o denominador não pode ser zero, porque não podemos dividir por zero. Então, verificamos se há valores de
que anulam o denominador:
Portanto,
não pode ser igual a 1 ou -1.
Passo 6
Combinando essas informações, concluímos que a função
está definida para valores de
onde:
Passo 7
Dentro desse domínio, a função
é composta por operações contínuas (subtração, divisão e raiz quadrada) sobre intervalos onde estão definidas. Não há interrupções ou pontos de descontinuidade nesses intervalos.
Passo 8
Portanto, o maior conjunto onde a função
é contínua é:
Resposta
O maior conjunto onde a função
é contínua é
.
Exercícios relacionados
Seja
uma função definida em
e suponha que exista
tal que
para todo
. Prove, usando a definição de função contínua, que
é contínua em
. Exiba outra maneira de mostrar este resultado.
Em cada dos itens abaixo, determine o maior conjunto onde a função
é contínua.
Encontre exemplos de funções tais que:
© é contínua em
não é contínua em
, mas
é contínua em
.
©
Sejam
funções contínuas em
tais que
. Verifique se a função
é contínua em
. Justifique sua resposta.