Em cada dos itens abaixo, determine o maior conjunto onde a função é contínua.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos o maior conjunto onde a função é contínua. Aqui, vamos explorar conceitos de continuidade e domínio de uma função para chegar à solução.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender onde a função está definida, ou seja, onde ela existe. Para isso, vamos analisar o denominador da fração: .

Passo 3

A expressão dentro da raiz quadrada, , deve ser maior que zero para que a raiz seja um número real. Então, temos:

Passo 4

Resolvendo a inequação :
Isso significa que deve ser maior que 1 ou menor que -1. Em intervalos, isso é representado por ou .

Passo 5

Além disso, o denominador não pode ser zero, porque não podemos dividir por zero. Então, verificamos se há valores de que anulam o denominador:
Portanto, não pode ser igual a 1 ou -1.

Passo 6

Combinando essas informações, concluímos que a função está definida para valores de onde:

Passo 7

Dentro desse domínio, a função é composta por operações contínuas (subtração, divisão e raiz quadrada) sobre intervalos onde estão definidas. Não há interrupções ou pontos de descontinuidade nesses intervalos.

Passo 8

Portanto, o maior conjunto onde a função é contínua é:

Resposta

O maior conjunto onde a função é contínua é .

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Seja uma função definida em e suponha que exista tal que para todo . Prove, usando a definição de função contínua, que é contínua em . Exiba outra maneira de mostrar este resultado.
Em cada dos itens abaixo, determine o maior conjunto onde a função é contínua.
Encontre exemplos de funções tais que:
© é contínua em não é contínua em , mas é contínua em .
Sejam funções contínuas em tais que . Verifique se a função é contínua em . Justifique sua resposta.