Seja
uma função definida em
e suponha que exista
tal que
para todo
. Prove, usando a definição de função contínua, que
é contínua em
. Exiba outra maneira de mostrar este resultado.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma função
definida nos números reais (
) e diz que existe um número positivo
tal que para todo
, a desigualdade
vale. Nosso objetivo é provar que
é contínua em
usando a definição de continuidade e depois mostrar outra maneira de demonstrar isso. Para resolver, vamos precisar entender o que é continuidade de uma função e como usar desigualdades para provar isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Dizemos que
é contínua em
se, quando
se aproxima de
,
também se aproxima de
. Formalmente, para todo
, existe um
tal que sempre que
, então
.
Passo 3
Agora, vamos usar a condição que o enunciado nos dá:
. Isso quer dizer que a diferença entre
e
é controlada por
vezes a diferença entre
e
.
Passo 4
Para provar a continuidade usando a definição, vamos começar escolhendo um
. Queremos encontrar um
tal que se
, então
.
Passo 5
A partir da condição dada, sabemos que
. Então, se quisermos que
, basta garantir que
.
Passo 6
Resolvendo a desigualdade
para
, temos
. Portanto, podemos escolher
.
Passo 7
Assim, para qualquer
, se escolhermos
, sempre que
, teremos
. Isso satisfaz a definição de continuidade em
.
Passo 8
Agora, para mostrar outra maneira de provar que
é contínua em
, podemos observar que a condição
na verdade define uma função Lipschitz contínua. Funções Lipschitz são, por definição, contínuas. Portanto, já que
satisfaz a condição de Lipschitz com constante
, sabemos imediatamente que ela é contínua em
.
Resposta
Concluímos que a função
é contínua em
tanto pela definição de continuidade, utilizando a desigualdade
, quanto reconhecendo que
é uma função Lipschitz contínua, o que garante sua continuidade em todo ponto, incluindo
.
Exercícios relacionados
Em cada dos itens abaixo, determine o maior conjunto onde a função
é contínua.
Calcule os limites abaixo:
;
Em cada dos itens abaixo, determine o maior conjunto onde a função
é contínua.
Encontre exemplos de funções tais que:
© é contínua em
não é contínua em
, mas
é contínua em
.
©