Seja uma função definida em e suponha que exista tal que para todo . Prove, usando a definição de função contínua, que é contínua em . Exiba outra maneira de mostrar este resultado.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma função definida nos números reais ( ) e diz que existe um número positivo tal que para todo , a desigualdade vale. Nosso objetivo é provar que é contínua em usando a definição de continuidade e depois mostrar outra maneira de demonstrar isso. Para resolver, vamos precisar entender o que é continuidade de uma função e como usar desigualdades para provar isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Dizemos que é contínua em se, quando se aproxima de , também se aproxima de . Formalmente, para todo , existe um tal que sempre que , então .

Passo 3

Agora, vamos usar a condição que o enunciado nos dá: . Isso quer dizer que a diferença entre e é controlada por vezes a diferença entre e .

Passo 4

Para provar a continuidade usando a definição, vamos começar escolhendo um . Queremos encontrar um tal que se , então .

Passo 5

A partir da condição dada, sabemos que . Então, se quisermos que , basta garantir que .

Passo 6

Resolvendo a desigualdade para , temos . Portanto, podemos escolher .

Passo 7

Assim, para qualquer , se escolhermos , sempre que , teremos . Isso satisfaz a definição de continuidade em .

Passo 8

Agora, para mostrar outra maneira de provar que é contínua em , podemos observar que a condição na verdade define uma função Lipschitz contínua. Funções Lipschitz são, por definição, contínuas. Portanto, já que satisfaz a condição de Lipschitz com constante , sabemos imediatamente que ela é contínua em .

Resposta

Concluímos que a função é contínua em tanto pela definição de continuidade, utilizando a desigualdade , quanto reconhecendo que é uma função Lipschitz contínua, o que garante sua continuidade em todo ponto, incluindo .

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Em cada dos itens abaixo, determine o maior conjunto onde a função é contínua.
Calcule os limites abaixo: ;
Em cada dos itens abaixo, determine o maior conjunto onde a função é contínua.
Encontre exemplos de funções tais que:
© é contínua em não é contínua em , mas é contínua em .