Em cada um dos itens abaixo determine uma série de potências para representar
e especifique o raio de convergência
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar uma série de potências que represente a função
e também determinar o raio de convergência dessa série. Vamos usar conceitos de séries geométricas para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma série geométrica tem a forma
, onde
para que a série convirja. No nosso caso,
se parece muito com a forma da série geométrica, onde
.
Passo 3
Aplicando a fórmula da série geométrica à nossa função, temos:
Então, a série de potências que representa
é
.
Passo 4
Agora, vamos determinar o raio de convergência. Sabemos que para a série geométrica
convergir, deve-se ter
. No nosso caso,
, então:
Portanto, o raio de convergência é
.
Resposta
A série de potências que representa
é:
E o raio de convergência dessa série é
.
Exercícios relacionados
Para cada uma das séries de potências de
abaixo determine o intervalo de convergência:
Calcular, por série de potências:
Em cada um dos itens abaixo, estabeleça a série de Maclaurin de
.
Dada a série de potências
, determine os valores de
para os quais ela converge absolutamente, converge condicionalmente ou diverge.