Em cada um dos itens abaixo determine uma série de potências para representar f(x) e especifique o raio de convergência f(x) = 1 / (1 - x^2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar uma série de potências que represente a função e também determinar o raio de convergência dessa série. Vamos usar conceitos de séries geométricas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma série geométrica tem a forma , onde para que a série convirja. No nosso caso, se parece muito com a forma da série geométrica, onde .

Passo 3

Aplicando a fórmula da série geométrica à nossa função, temos:
Então, a série de potências que representa é .

Passo 4

Agora, vamos determinar o raio de convergência. Sabemos que para a série geométrica convergir, deve-se ter . No nosso caso, , então:
Portanto, o raio de convergência é .

Resposta

A série de potências que representa é:
E o raio de convergência dessa série é .

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Para cada uma das séries de potências de x abaixo determine o intervalo de convergência: sumn=2^infty nn^2+1 x^n
Calcular, por série de potências: integral ln x^2 d x
Em cada um dos itens abaixo, estabeleça a série de Maclaurin de f(x). f(x) = e^(-x)
Dada a série de potências sumn=1^infty (2 x+1)^nraiz[7]n, determine os valores de x para os quais ela converge absolutamente, converge condicionalmente ou diverge.