Para cada uma das séries de potências de abaixo determine o intervalo de convergência:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar o intervalo de convergência da série de potências . Aqui, estamos trabalhando com séries de potências e vamos precisar usar o Teste da Razão para determinar onde essa série converge.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar o Teste da Razão, que é uma técnica para verificar a convergência de séries infinitas. O teste diz que, para a série , calculamos o limite:
Se L < 1, a série converge; se L > 1, a série diverge; e se L = 1, o teste é inconclusivo.
Passo 3
Identificamos an na nossa série:
an = nn^2+1 x^n
Então, an+1 será:
an+1 = n+1(n+1)^2+1 x^n+1
Passo 4
Agora, substituímos an+1 e an na fórmula do limite:
L = limn to infty | n+1(n+1)^2+1 x^n+1nn^2+1 x^n |
Simplificando a expressão:
L = limn to infty | n+1(n+1)^2+1 cdot n^2+1n cdot x |
L = limn to infty | n+1n^2 + 2n + 2 cdot n^2 + 1n cdot x |
Dividindo numerador e denominador por n:
L = limn to infty | 1 + 1nn + 2 + 2n cdot (n + 1n) cdot x |
À medida que n tende ao infinito, as frações 1n e 2n tendem a zero:
L = limn to infty | 1n cdot n cdot x | = |x|
Passo 6
Agora, de acordo com o Teste da Razão:
Se |x| < 1, então L = |x| < 1 e a série converge.
Se |x| > 1, então L = |x| > 1 e a série diverge.
Se |x| = 1, o teste não é conclusivo, então precisamos verificar separadamente.
Passo 7
Vamos verificar os casos onde |x| = 1:
Para x = 1:
A série se torna:
sumn=2^infty nn^2+1
Analisando o comportamento dos termos, vemos que nn^2+1 sim 1n para grandes n, e sabemos que a série sum 1n diverge. Então, para x = 1, a série diverge.
Para x = -1:
A série se torna:
sumn=2^infty nn^2+1 (-1)^n
Aqui, podemos aplicar o Teste da Alternância. Para isso, verificamos se os termos nn^2+1 são decrescentes e tendem a zero.
limn to infty nn^2+1 = 0
E nn^2+1 é decrescente para n grande.
Portanto, pelo Teste da Alternância, a série converge para x = -1.
Resposta
O intervalo de convergência da série é -1 <= x < 1.