Para cada uma das séries de potências de x abaixo determine o intervalo de convergência: sumn=2^infty nn^2+1 x^n

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar o intervalo de convergência da série de potências sumn=2^infty nn^2+1 x^n. Aqui, estamos trabalhando com séries de potências e vamos precisar usar o Teste da Razão para determinar onde essa série converge.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar o Teste da Razão, que é uma técnica para verificar a convergência de séries infinitas. O teste diz que, para a série sum an, calculamos o limite:
L = limn to infty | an+1an |
Se L < 1, a série converge; se L > 1, a série diverge; e se L = 1, o teste é inconclusivo.

Passo 3

Identificamos an na nossa série:
an = nn^2+1 x^n
Então, an+1 será:
an+1 = n+1(n+1)^2+1 x^n+1

Passo 4

Agora, substituímos an+1 e an na fórmula do limite:
L = limn to infty | n+1(n+1)^2+1 x^n+1nn^2+1 x^n |
Simplificando a expressão:
L = limn to infty | n+1(n+1)^2+1 cdot n^2+1n cdot x |

Passo 5

Vamos simplificar essa expressão:
Primeiro, note que (n+1)^2 + 1 = n^2 + 2n + 2. Então:
L = limn to infty | n+1n^2 + 2n + 2 cdot n^2 + 1n cdot x |
Dividindo numerador e denominador por n:
L = limn to infty | 1 + 1nn + 2 + 2n cdot (n + 1n) cdot x |
À medida que n tende ao infinito, as frações 1n e 2n tendem a zero:
L = limn to infty | 1n cdot n cdot x | = |x|

Passo 6

Agora, de acordo com o Teste da Razão:
  • Se |x| < 1, então L = |x| < 1 e a série converge.
  • Se |x| > 1, então L = |x| > 1 e a série diverge.
  • Se |x| = 1, o teste não é conclusivo, então precisamos verificar separadamente.

Passo 7

Vamos verificar os casos onde |x| = 1:
  1. Para x = 1:
A série se torna:
sumn=2^infty nn^2+1
Analisando o comportamento dos termos, vemos que nn^2+1 sim 1n para grandes n, e sabemos que a série sum 1n diverge. Então, para x = 1, a série diverge.
  1. Para x = -1:
A série se torna:
sumn=2^infty nn^2+1 (-1)^n
Aqui, podemos aplicar o Teste da Alternância. Para isso, verificamos se os termos nn^2+1 são decrescentes e tendem a zero.
  • limn to infty nn^2+1 = 0
  • E nn^2+1 é decrescente para n grande.
Portanto, pelo Teste da Alternância, a série converge para x = -1.

Resposta

O intervalo de convergência da série é -1 <= x < 1.

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