Dada a série de potências , determine os valores de para os quais ela converge absolutamente, converge condicionalmente ou diverge.
Passo 1
Resumo do Enunciado e Conteúdo Utilizado
Estamos lidando com a série de potências:
Nosso objetivo é descobrir para quais valores de essa série converge absolutamente, converge condicionalmente ou diverge. Para resolver isso, vamos utilizar o Teste da Razão e conceitos de Séries de Potências e Séries Alternadas.
Passo 2
Reescrevendo a Série para Facilitar a Análise
Primeiro, vamos reescrever a série de uma forma mais simples para identificarmos seu comportamento:
Aqui, é a parte que depende de , e é o denominador que cresce com .
Passo 3
Aplicando o Teste da Razão para Determinar a Convergência Absoluta
O Teste da Razão nos ajuda a determinar o raio de convergência da série. Vamos calcular o limite:
Onde L = limn to infty | (2x + 1)^n+1 / (n+1)^1/7(2x + 1)^n / n^1/7 | = limn to infty |2x + 1| cdot ( nn+1 )^1/7 = |2x + 1| .
Calculando:
Segundo o Teste da Razão, a série converge absolutamente se , diverge se e o teste é inconclusivo se .
Passo 4
Determinação do Intervalo de Convergência Absoluta
Para |2x + 1| < 1 :
-1 < 2x + 1 < 1
Resolvendo a desigualdade:
-2 < 2x < 0
Subtraindo 1 de todos os lados:
-1 < x < 0
Dividindo por 2:
Portanto, a série converge absolutamente para no intervalo .
Passo 5
Analisando os Pontos de Fronteira ( 2(-1) + 1 = -2 + 1 = -1 e sumn=1^infty (-1)^nn^1/7 )
Para 2(0) + 1 = 1 :
sumn=1^infty 1n^1/7
A série se torna:
Essa é uma série alternada. Aplicando o Teste da Série Alternada, que diz que se é decrescente e , a série converge.
Aqui, é decrescente e tende a zero, então a série converge condicionalmente para .
Para :
A série se torna:
Essa é uma série p com , que diverge.
Resposta
A série converge absolutamente para todos os valores de no intervalo , converge condicionalmente quando e diverge quando ou para quaisquer outros valores de fora desse intervalo.