Em cada um dos itens abaixo, estabeleça a série de Maclaurin de
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos estabelecer a série de Maclaurin para a função
. A série de Maclaurin é uma maneira de representar funções como uma soma infinita de termos baseados nas derivadas da função no ponto 0. Para resolver isso, vamos precisar saber o que é uma série de Maclaurin e como aplicá-la a funções exponenciais como a que temos aqui.
Passo 2
A série de Maclaurin para uma função
é dada por:
Aqui,
representa a n-ésima derivada de
avaliada em 0, e
é o fatorial de n. Isso significa que precisamos encontrar as derivadas de
, avaliá-las em 0 e então montar a série.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas de
e avaliá-las em 0:
-
Primeira derivada:Avaliando em 0:
-
Segunda derivada:Avaliando em 0:
-
Terceira derivada:Avaliando em 0:
Observamos um padrão: as derivadas alternam entre
e
, e os valores avaliados em 0 alternam entre 1 e -1.
Passo 4
Agora, substituímos esses valores na fórmula da série de Maclaurin:
Substituindo os valores que encontramos:
Isso continua infinitamente, seguindo o padrão de sinais alternados e fatores fatoriais no denominador.
Resposta
A série de Maclaurin de
é:
Exercícios relacionados
Em cada um dos itens abaixo determine uma série de potências para representar
e especifique o raio de convergência
Para cada uma das séries de potências de
abaixo determine o intervalo de convergência:
Dada a série de potências
, determine os valores de
para os quais ela converge absolutamente, converge condicionalmente ou diverge.
Encontre a série de Taylor centrada em
da função
especificando seu raio de convergência. (Sugestão: A partir da série geométrica, efetue derivação e substituição).