Calcular, por série de potências: integral ln x^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral usando uma série de potências. Primeiro, vamos entender o enunciado: precisamos encontrar a antiderivada da função . Para isso, vamos usar a expansão em série de potências da função logarítmica e depois integrar termo a termo. Vamos precisar conhecer a série de Taylor para .

Passo 2

Primeiro, simplificamos a função dentro do logaritmo:
ln(x^2) = 2 ln(x)
Então, nossa integral agora é:
integral 2 ln(x) , dx = 2 integral ln(x) , dx

Passo 3

Agora, para usar a série de potências, vamos considerar a expansão de ln(1 + u) = sumn=1^infty (-1)^n+1 u^nn para |u| < 1 em torno de ln(x) = sumn=1^infty (-1)^n+1 (x - 1)^nn . Definimos , então . A série de Taylor para é:
Substituindo , temos:

Passo 4

Agora, substituímos essa série na nossa integral:
2 integral ln(x) , dx = 2 integral ( sumn=1^infty (-1)^n+1 (x - 1)^nn ) dx
Podemos trocar a integral pela soma (desde que a série convirja):
2 sumn=1^infty (-1)^n+1 1n integral (x - 1)^n , dx

Passo 5

Integrando termo a termo:
integral (x - 1)^n , dx = (x - 1)^n+1n+1 + C
Então, a expressão fica:
2 sumn=1^infty (-1)^n+1 1n cdot (x - 1)^n+1n+1 + C
Simplificando os coeficientes:
2 sumn=1^infty (-1)^n+1 (x - 1)^n+1n(n+1) + C

Passo 6

Finalmente, podemos reindexar a série substituindo 2 summ=2^infty (-1)^m (x - 1)^m(m-1)m + C :
Essa é a antiderivada de expressa como uma série de potências.

Resposta

A integral 2 summ=2^infty (-1)^m (x - 1)^m(m-1)m + C é igual a:
onde é a constante de integração.

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