Calcular, por série de potências:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
usando uma série de potências. Primeiro, vamos entender o enunciado: precisamos encontrar a antiderivada da função
. Para isso, vamos usar a expansão em série de potências da função logarítmica e depois integrar termo a termo. Vamos precisar conhecer a série de Taylor para
.
Passo 2
Primeiro, simplificamos a função dentro do logaritmo:
Então, nossa integral agora é:
Passo 3
Agora, para usar a série de potências, vamos considerar a expansão de
em torno de
. Definimos
, então
. A série de Taylor para
é:
Substituindo
, temos:
Passo 4
Agora, substituímos essa série na nossa integral:
Podemos trocar a integral pela soma (desde que a série convirja):
Passo 5
Integrando termo a termo:
Então, a expressão fica:
Simplificando os coeficientes:
Passo 6
Finalmente, podemos reindexar a série substituindo
:
Essa é a antiderivada de
expressa como uma série de potências.
Resposta
A integral
é igual a:
onde
é a constante de integração.
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