Em cada um dos itens abaixo determine uma série de potências para representar
e especifique o raio de convergência
Passo 1
Tudo bem! Vamos resolver o exercício que pede para determinar uma série de potências que represente a função
e também especificar o raio de convergência dessa série. Para isso, vamos utilizar conceitos de álgebra e séries de potências, especialmente a série geométrica.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a função
. Podemos dividir o polinômio do numerador pelo denominador:
Fazendo a divisão polinomial:
- Divide-se
por , resultando em . - Multiplica-se
por , dando . - Subtrai-se esse resultado do numerador original:
Então, temos:
Passo 3
Agora, vamos reescrever a fração restante
de forma que possamos aplicar a série geométrica. Observamos que:
Sabemos que a série geométrica é dada por:
Então, substituindo na expressão da função:
Passo 4
Juntando tudo, a função
pode ser expressa como:
Essa é a série de potências que representa
.
Passo 5
Para determinar o raio de convergência, observamos que a série geométrica
converge quando
. Como multiplicamos essa série por uma constante e somamos termos polinomiais que não afetam a convergência, o raio de convergência permanece:
Resposta
A série de potências que representa
é:
E o raio de convergência dessa série é
.
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