Para cada uma das séries de potências de x abaixo determine o intervalo de convergência: sumn=0^infty 2^n(2 n)! x^2 n

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma série de potências:
sumn=0^infty 2^n(2n)! x^2n
O objetivo é descobrir para quais valores de essa série converge. Para isso, vamos usar o Teste da Razão, que é uma ferramenta bem útil para séries desse tipo.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o termo geral da série, que é:
an = 2^n(2n)! x^2n
Agora, aplicamos o Teste da Razão, que nos diz para calcular o limite:
L = limn to infty | an+1an |
Vamos substituir L = limn to infty | 2^n+1(2(n+1))! x^2(n+1) cdot (2n)!2^n x^2n | e L = limn to infty | 2 cdot 2^n(2n+2)(2n+1) cdot 2^n x^2 | = limn to infty | 2 x^2(2n+2)(2n+1) | :
L = 0
Simplificando os termos:
À medida que cresce, o denominador também cresce muito, fazendo com que o limite tende a 0:

Passo 3

Segundo o Teste da Razão, se , a série converge. Aqui, como , que é menor que 1, a série converge para todos os valores de .

Resposta

O intervalo de convergência é .

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