Para cada uma das séries de potências de abaixo determine o intervalo de convergência:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma série de potências:
O objetivo é descobrir para quais valores de essa série converge. Para isso, vamos usar o Teste da Razão, que é uma ferramenta bem útil para séries desse tipo.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o termo geral da série, que é:
Agora, aplicamos o Teste da Razão, que nos diz para calcular o limite:
Vamos substituir L = limn to infty | 2^n+1(2(n+1))! x^2(n+1) cdot (2n)!2^n x^2n | e L = limn to infty | 2 cdot 2^n(2n+2)(2n+1) cdot 2^n x^2 | = limn to infty | 2 x^2(2n+2)(2n+1) | :
L = 0
Simplificando os termos:
À medida que cresce, o denominador também cresce muito, fazendo com que o limite tende a 0:
Passo 3
Segundo o Teste da Razão, se , a série converge. Aqui, como , que é menor que 1, a série converge para todos os valores de .