(2,0 pts) Calcule o fluxo do campo vetorial
através da esfera
(orientada com campo normal para fora).
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é calcular o fluxo de um campo vetorial através de uma esfera. Isso envolve conceitos de cálculo vetorial, mais especificamente o Teorema da Divergência. Para isso, vamos precisar entender como calcular a divergência do campo e integrar isso sobre o volume da esfera.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é fluxo. O fluxo de um campo vetorial
através de uma superfície
mede quanta “força” do campo passa por essa superfície. Matematicamente, é representado por:
Onde
é o vetor normal à superfície.
Passo 3
Agora, para facilitar nossos cálculos, vamos usar o Teorema da Divergência. Esse teorema nos diz que o fluxo através de uma superfície fechada é igual à integral da divergência do campo vetorial sobre o volume limitado por essa superfície. Ou seja:
Isso simplifica bastante, porque em vez de calcular uma integral de superfície complicada, a gente calcula uma integral de volume que costuma ser mais direta.
Passo 4
Vamos calcular a divergência do campo
. A divergência é dada por:
Calculando cada uma das derivadas parciais:
Então,
Passo 5
Agora, precisamos integrar essa divergência sobre o volume da esfera de raio 1, ou seja, onde
. Como estamos lidando com uma esfera unitária e a função é simétrica, podemos usar coordenadas esféricas para facilitar a integração.
Sabemos que em coordenadas esféricas,
e o elemento de volume é
.
Então, a integral fica:
Resolvendo as integrais separadamente:
Multiplicando tudo:
Resposta
O fluxo do campo vetorial através da esfera é
.
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