(2,0 pts) Calcule o fluxo do campo vetorial
F(x, y, z) = (x^3, y^3, z^3 + e^(x y))
através da esfera x^2 + y^2 + z^2 = 1 (orientada com campo normal para fora).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é calcular o fluxo de um campo vetorial através de uma esfera. Isso envolve conceitos de cálculo vetorial, mais especificamente o Teorema da Divergência. Para isso, vamos precisar entender como calcular a divergência do campo e integrar isso sobre o volume da esfera.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é fluxo. O fluxo de um campo vetorial através de uma superfície mede quanta “força” do campo passa por essa superfície. Matematicamente, é representado por:
Onde é o vetor normal à superfície.

Passo 3

Agora, para facilitar nossos cálculos, vamos usar o Teorema da Divergência. Esse teorema nos diz que o fluxo através de uma superfície fechada é igual à integral da divergência do campo vetorial sobre o volume limitado por essa superfície. Ou seja:
Isso simplifica bastante, porque em vez de calcular uma integral de superfície complicada, a gente calcula uma integral de volume que costuma ser mais direta.

Passo 4

Vamos calcular a divergência do campo . A divergência é dada por:
Calculando cada uma das derivadas parciais:
Então,

Passo 5

Agora, precisamos integrar essa divergência sobre o volume da esfera de raio 1, ou seja, onde . Como estamos lidando com uma esfera unitária e a função é simétrica, podemos usar coordenadas esféricas para facilitar a integração.
Sabemos que em coordenadas esféricas, e o elemento de volume é .
Então, a integral fica:
Resolvendo as integrais separadamente:
Multiplicando tudo:

Resposta

O fluxo do campo vetorial através da esfera é .

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