Para cada um dos itens abaixo, determine se o vetor v pertence a [v1, v2, v3] (isto é, ao subespaço gerado por v1, v2 e v3), onde v1=(1,0,0,1), v2=(1,-1,0,0), v3=(0,1,2,1)
(d) v=(0,3,2,3).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para verificar se o vetor v = (0,3,2,3) pertence ao subespaço gerado pelos vetores v1 = (1,0,0,1), v2 = (1,-1,0,0) e v3 = (0,1,2,1). Isso está dentro da matéria de Álgebra Linear, mais especificamente sobre subespaços e combinação linear. Para resolver, vamos precisar montar um sistema de equações que verifica se existe uma combinação linear desses três vetores que resulte em v.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa que v pertence ao subespaço [v1, v2, v3]. Isso quer dizer que existe uma combinação linear dos vetores v1, v2, e v3 que resulta no vetor v. Ou seja, existem escalares a, b, e c tais que:
av1 + bv2 + cv3 = v

Passo 3

Vamos substituir os valores dos vetores na equação acima:
a(1,0,0,1) + b(1,-1,0,0) + c(0,1,2,1) = (0,3,2,3)
Isso nos dá um sistema de equações para cada componente do vetor:
a + b = 0 - b + c = 3 2c = 2 a + c = 3

Passo 4

Vamos resolver o sistema passo a passo. Da terceira equação, já encontramos c:
2c = 2 Rightarrow c = 1
Agora, substituímos c = 1 na segunda equação:
- b + 1 = 3 Rightarrow -b = 2 Rightarrow b = -2
Em seguida, substituímos b = -2 na primeira equação:
a + (-2) = 0 Rightarrow a = 2
Por fim, substituímos a = 2 e c = 1 na quarta equação para verificar a consistência:
2 + 1 = 3 Rightarrow 3 = 3
Tudo confere!

Resposta

Sim, o vetor v = (0,3,2,3) pertence ao subespaço gerado por v1, v2 e v3, pois existe uma combinação linear desses vetores que resulta em v.

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