Para cada um dos itens abaixo, determine se o vetor pertence a (isto é, ao subespaço gerado por e , onde
(d) .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para verificar se o vetor pertence ao subespaço gerado pelos vetores , e . Isso está dentro da matéria de Álgebra Linear, mais especificamente sobre subespaços e combinação linear. Para resolver, vamos precisar montar um sistema de equações que verifica se existe uma combinação linear desses três vetores que resulte em .
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa que pertence ao subespaço . Isso quer dizer que existe uma combinação linear dos vetores , , e que resulta no vetor . Ou seja, existem escalares , , e tais que:
Passo 3
Vamos substituir os valores dos vetores na equação acima:
Isso nos dá um sistema de equações para cada componente do vetor:
Passo 4
Vamos resolver o sistema passo a passo. Da terceira equação, já encontramos c:
2c = 2 Rightarrow c = 1
Agora, substituímos c = 1 na segunda equação:
- b + 1 = 3 Rightarrow -b = 2 Rightarrow b = -2
Em seguida, substituímos b = -2 na primeira equação:
a + (-2) = 0 Rightarrow a = 2
Por fim, substituímos a = 2 e c = 1 na quarta equação para verificar a consistência:
2 + 1 = 3 Rightarrow 3 = 3
Tudo confere!
Resposta
Sim, o vetor v = (0,3,2,3) pertence ao subespaço gerado por v1, v2 e v3, pois existe uma combinação linear desses vetores que resulta em v.