Determinar os subespaços de R^2 gerados pelos conjuntos de vetores A=(v1, ldots, vn) :
(a) A=(1,2)

Passo 1

Vamos resolver a questão de determinar os subespaços de R^2 gerados pelo conjunto A = (1, 2). Aqui estamos trabalhando com álgebra linear, especificamente com conceitos de subespaços vetoriais e geração de subespaços por conjuntos de vetores. Precisaremos entender como um único vetor pode gerar um subespaço através de suas combinações lineares.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar que um subespaço vetorial é um conjunto de vetores que satisfaz certas propriedades, como conter o vetor zero, ser fechado sob adição e multiplicação por escalar. Quando queremos determinar o subespaço gerado por um conjunto de vetores, estamos basicamente procurando todas as combinações lineares desses vetores.

Passo 3

No nosso caso, o conjunto A contém apenas um vetor, que é (1, 2). Uma combinação linear desse único vetor é dada por multiplicar o vetor por um escalar qualquer. Ou seja, qualquer vetor no subespaço gerado por A pode ser escrito como k cdot (1, 2), onde k é um número real.

Passo 4

Vamos entender isso melhor: se pegarmos k = 0, temos o vetor (0, 0), que é o vetor zero e está presente em todo subespaço vetorial. Se k = 1, voltamos ao vetor original (1, 2). Para k = 2, teremos (2, 4), e assim por diante. Isso mostra que todas as possíveis combinações lineares desse vetor estão alinhadas em uma linha reta que passa pela origem.

Resposta

O subespaço gerado pelo conjunto A = (1, 2) é a reta que passa pela origem e pelo ponto (1, 2), composta por todos os vetores da forma k cdot (1, 2), onde k é um número real.

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