Determinar os subespaços de gerados pelos conjuntos de vetores :
(a)

Passo 1

Vamos resolver a questão de determinar os subespaços de gerados pelo conjunto . Aqui estamos trabalhando com álgebra linear, especificamente com conceitos de subespaços vetoriais e geração de subespaços por conjuntos de vetores. Precisaremos entender como um único vetor pode gerar um subespaço através de suas combinações lineares.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar que um subespaço vetorial é um conjunto de vetores que satisfaz certas propriedades, como conter o vetor zero, ser fechado sob adição e multiplicação por escalar. Quando queremos determinar o subespaço gerado por um conjunto de vetores, estamos basicamente procurando todas as combinações lineares desses vetores.

Passo 3

No nosso caso, o conjunto contém apenas um vetor, que é . Uma combinação linear desse único vetor é dada por multiplicar o vetor por um escalar qualquer. Ou seja, qualquer vetor no subespaço gerado por pode ser escrito como , onde é um número real.

Passo 4

Vamos entender isso melhor: se pegarmos , temos o vetor , que é o vetor zero e está presente em todo subespaço vetorial. Se , voltamos ao vetor original . Para , teremos , e assim por diante. Isso mostra que todas as possíveis combinações lineares desse vetor estão alinhadas em uma linha reta que passa pela origem.

Resposta

O subespaço gerado pelo conjunto é a reta que passa pela origem e pelo ponto , composta por todos os vetores da forma , onde é um número real.

Exercícios relacionados

Para cada um dos itens abaixo, determine se o vetor pertence a (isto é, ao subespaço gerado por e , onde
(d) .
Seja um operador linear tal que e .
(f) Té isomorfismo? Se for, calcule sua inversa.
Para cada um dos itens abaixo, determine se o vetor pertence a (isto é, ao subespaço gerado por e , onde
(b) .
Para cada um dos itens abaixo, determine se o vetor pertence a (isto é, ao subespaço gerado por e , onde
(a)