Seja T: R^3 R^3 um operador linear tal que T(1,0,1)=(1,1,0), T(0,1,0)=(1,0,-1) e T(0,1,1)=(0,0,1).
(f) Té isomorfismo? Se for, calcule sua inversa.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me deu um operador linear definido por:
Queremos saber se é um isomorfismo, ou seja, se é uma função linear que é bijetora (tem uma função inversa). Para isso, vamos precisar entender sobre operadores lineares, matrizes associadas e como verificar se uma matriz é invertível.

Passo 2

Primeiro, vamos representar o operador linear como uma matriz. Para isso, precisamos expressar as imagens dos vetores canônicos sob . Mas aqui, os vetores fornecidos não são os vetores canônicos padrão , , . Então, precisamos encontrar a matriz de usando os vetores dados.

Passo 3

Vamos organizar os vetores de entrada e suas imagens em uma matriz. Os vetores de entrada são A = 1 & 1 & 0 1 & 0 & 0 0 & -1 & 1 , , e , que são linearmente independentes e formam uma base de . As imagens desses vetores são as colunas da matriz de :

Passo 4

Para verificar se det(A) = 1 cdot (0 cdot 1 - (-1) cdot 0) - 1 cdot (1 cdot 1 - 0 cdot 0) + 0 cdot (1 cdot (-1) - 0 cdot 0) = 1 cdot 0 - 1 cdot 1 + 0 cdot (-1) = -1 é um isomorfismo, precisamos ver se a matriz é invertível. Uma matriz é invertível se e somente se seu determinante for diferente de zero. Vamos calcular o determinante de :
Como , a matriz é invertível, então é um isomorfismo.

Passo 5

Agora que sabemos que é um isomorfismo, vamos calcular sua inversa . Para isso, precisamos encontrar a matriz inversa . Usando a fórmula da matriz inversa para matrizes , podemos calcular .

Passo 6

Vamos calcular a matriz inversa Cof(A) = det 0 & 0 -1 & 1 & -det 1 & 0 -1 & 1 & det 1 & 0 1 & -1 -det 1 & 0 -1 & 1 & det 1 & 0 0 & 1 & -det 1 & 1 0 & -1 det 1 & 0 1 & 0 & -det 1 & 0 0 & 0 & det 1 & 1 0 & 1 = 0 & -1 & -1 -1 & 1 & 1 0 & 0 & 1 passo a passo. Uma maneira eficiente de fazer isso é usando a regra de Sarrus ou a cofactorização. Aqui, usaremos a cofactorização.
Primeiro, calculamos a matriz dos cofatores de Adj(A) = 0 & -1 & 0 -1 & 1 & 0 -1 & 1 & 1 :
A^-1 = 1det(A) cdot Adj(A) = 1-1 cdot 0 & -1 & 0 -1 & 1 & 0 -1 & 1 & 1 = 0 & 1 & 0 1 & -1 & 0 1 & -1 & -1
Então, a matriz adjunta é a transposta da matriz de cofatores:
Finalmente, a matriz inversa é:

Resposta

Sim, T^-1 = 0 & 1 & 0 1 & -1 & 0 1 & -1 & -1 é um isomorfismo. A sua matriz inversa é:

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