Seja um operador linear tal que e .
(f) Té isomorfismo? Se for, calcule sua inversa.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me deu um operador linear definido por:
Queremos saber se é um isomorfismo, ou seja, se é uma função linear que é bijetora (tem uma função inversa). Para isso, vamos precisar entender sobre operadores lineares, matrizes associadas e como verificar se uma matriz é invertível.
Passo 2
Primeiro, vamos representar o operador linear como uma matriz. Para isso, precisamos expressar as imagens dos vetores canônicos sob . Mas aqui, os vetores fornecidos não são os vetores canônicos padrão , , . Então, precisamos encontrar a matriz de usando os vetores dados.
Passo 3
Vamos organizar os vetores de entrada e suas imagens em uma matriz. Os vetores de entrada são , , e , que são linearmente independentes e formam uma base de . As imagens desses vetores são as colunas da matriz de :
Passo 4
Para verificar se é um isomorfismo, precisamos ver se a matriz é invertível. Uma matriz é invertível se e somente se seu determinante for diferente de zero. Vamos calcular o determinante de :
Como , a matriz é invertível, então é um isomorfismo.
Passo 5
Agora que sabemos que é um isomorfismo, vamos calcular sua inversa . Para isso, precisamos encontrar a matriz inversa . Usando a fórmula da matriz inversa para matrizes , podemos calcular .
Passo 6
Vamos calcular a matriz inversa passo a passo. Uma maneira eficiente de fazer isso é usando a regra de Sarrus ou a cofactorização. Aqui, usaremos a cofactorização.
Primeiro, calculamos a matriz dos cofatores de :
Então, a matriz adjunta é a transposta da matriz de cofatores: