Seja B=u, v uma base de V^2. Definimos
& utheta=sin theta u+cos theta v & vtheta=cos theta u-sin theta v
Mostre que para todo theta in R, Btheta=utheta, vtheta também é uma base de V^2.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma base de um espaço vetorial . A questão define dois novos vetores e em termos de e usando funções trigonométricas. Nosso objetivo é mostrar que, para qualquer ângulo , o conjunto também forma uma base de . Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma base, propriedades de combinações lineares e como verificar a independência linear.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma base. Em um espaço vetorial, uma base é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço. No caso de , que é um espaço vetorial bidimensional, precisamos de dois vetores que não sejam múltiplos um do outro para formar uma base.

Passo 3

Agora, vamos olhar para os novos vetores utheta = sin theta u + cos theta v e vtheta = cos theta u - sin theta v :
Esses vetores são combinações lineares de e com coeficientes que dependem do ângulo .

Passo 4

Para mostrar que é uma base, precisamos verificar se os vetores e são linearmente independentes. Uma maneira eficiente de fazer isso é calcular o determinante da matriz formada por esses vetores. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são linearmente independentes.

Passo 5

Vamos formar a matriz A = sin theta & cos theta cos theta & -sin theta com det(A) = (sin theta)(-sin theta) - (cos theta)(cos theta) = -sin^2 theta - cos^2 theta = -(sin^2 theta + cos^2 theta) e det(A) = -1 como colunas:
Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
Sabemos que , então:

Passo 6

Como o determinante é diferente de zero, concluímos que os vetores e são linearmente independentes. Portanto, eles formam uma base de .

Resposta

Para todo , o conjunto é uma base de .

Exercícios relacionados