Seja
uma base de
. Definimos
Mostre que para todo
também é uma base de
.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma base
de um espaço vetorial
. A questão define dois novos vetores
e
em termos de
e
usando funções trigonométricas. Nosso objetivo é mostrar que, para qualquer ângulo
, o conjunto
também forma uma base de
. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma base, propriedades de combinações lineares e como verificar a independência linear.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma base. Em um espaço vetorial, uma base é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço. No caso de
, que é um espaço vetorial bidimensional, precisamos de dois vetores que não sejam múltiplos um do outro para formar uma base.
Passo 3
Agora, vamos olhar para os novos vetores
e
:
Esses vetores são combinações lineares de
e
com coeficientes que dependem do ângulo
.
Passo 4
Para mostrar que
é uma base, precisamos verificar se os vetores
e
são linearmente independentes. Uma maneira eficiente de fazer isso é calcular o determinante da matriz formada por esses vetores. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são linearmente independentes.
Passo 5
Vamos formar a matriz
com
e
como colunas:
Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
Sabemos que
, então:
Passo 6
Como o determinante
é diferente de zero, concluímos que os vetores
e
são linearmente independentes. Portanto, eles formam uma base de
.
Resposta
Para todo
, o conjunto
é uma base de
.
Exercícios relacionados
(a) Seja
dado por
. Determine
para que
seja auto-adjunto.
Seja
um operador linear tal que
e
.
(d) Té sobrejetora? Justifique sua resposta. Té injetora? Justifique sua resposta. T e bijetora? lustifique sua resposta.
(d) Té sobrejetora? Justifique sua resposta. Té injetora? Justifique sua resposta. T e bijetora? lustifique sua resposta.
Seja
um operador linear tal que
e
.
(f) Té isomorfismo? Se for, calcule sua inversa.
(f) Té isomorfismo? Se for, calcule sua inversa.
Para cada um dos itens abaixo, determine se o vetor
pertence a
(isto é, ao subespaço gerado por
e
, onde
(d) .
(d)