Para cada um dos itens abaixo, determine se o vetor v pertence a [v1, v2, v3] (isto é, ao subespaço gerado por v1, v2 e v3), onde v1=(1,0,0,1), v2=(1,-1,0,0), v3=(0,1,2,1)
(b) v=(-1,4,2,2).

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão de álgebra linear! O problema é verificar se o vetor v = (-1, 4, 2, 2) está dentro do subespaço gerado pelos vetores v1 = (1, 0, 0, 1), v2 = (1, -1, 0, 0) e v3 = (0, 1, 2, 1). Basicamente, queremos saber se conseguimos escrever v como uma combinação linear desses três vetores. Para isso, vamos precisar montar um sistema de equações e resolver para encontrar os coeficientes que multiplicam cada vetor.

Passo 2

Primeiro, vamos expressar v como uma combinação linear dos vetores v1, v2 e v3. Isso significa que precisamos encontrar números (coeficientes) a, b e c tais que:
v = av1 + bv2 + cv3
Substituindo os valores dos vetores, temos:
(-1, 4, 2, 2) = a(1, 0, 0, 1) + b(1, -1, 0, 0) + c(0, 1, 2, 1)

Passo 3

Agora, vamos quebrar essa equação em componentes para formar um sistema de equações. Isso significa igualar cada coordenada individualmente:
-1 = a cdot 1 + b cdot 1 + c cdot 0 4 = a cdot 0 + b cdot (-1) + c cdot 1 2 = a cdot 0 + b cdot 0 + c cdot 2 2 = a cdot 1 + b cdot 0 + c cdot 1
Simplificando, temos:
-1 = a + b 4 = -b + c 2 = 2c 2 = a + c

Passo 4

Vamos resolver esse sistema passo a passo. Começamos pela terceira equação:
2 = 2c implies c = 1
Com c = 1, substituímos na quarta equação:
2 = a + 1 implies a = 1
Agora que temos a = 1 e c = 1, vamos para a primeira equação:
-1 = 1 + b implies b = -2
Verificamos na segunda equação:
4 = -(-2) + 1 implies 4 = 2 + 1 implies 4 = 3
Aqui percebemos que 4 neq 3, o que indica uma contradição. Isso significa que não existe solução que satisfaça todas as equações simultaneamente.

Resposta

Não, o vetor v = (-1, 4, 2, 2) não pertence ao subespaço gerado por v1, v2 e v3.

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