Para cada um dos itens abaixo, determine se o vetor pertence a (isto é, ao subespaço gerado por e , onde
(b) .
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão de álgebra linear! O problema é verificar se o vetor está dentro do subespaço gerado pelos vetores , e . Basicamente, queremos saber se conseguimos escrever como uma combinação linear desses três vetores. Para isso, vamos precisar montar um sistema de equações e resolver para encontrar os coeficientes que multiplicam cada vetor.
Passo 2
Primeiro, vamos expressar como uma combinação linear dos vetores , e . Isso significa que precisamos encontrar números (coeficientes) , e tais que:
Substituindo os valores dos vetores, temos:
Passo 3
Agora, vamos quebrar essa equação em componentes para formar um sistema de equações. Isso significa igualar cada coordenada individualmente:
Simplificando, temos:
-1 = a + b 4 = -b + c 2 = 2c 2 = a + c
Passo 4
Vamos resolver esse sistema passo a passo. Começamos pela terceira equação:
2 = 2c implies c = 1
Com c = 1, substituímos na quarta equação:
2 = a + 1 implies a = 1
Agora que temos a = 1 e c = 1, vamos para a primeira equação:
-1 = 1 + b implies b = -2
Verificamos na segunda equação:
4 = -(-2) + 1 implies 4 = 2 + 1 implies 4 = 3
Aqui percebemos que 4 neq 3, o que indica uma contradição. Isso significa que não existe solução que satisfaça todas as equações simultaneamente.
Resposta
Não, o vetor v = (-1, 4, 2, 2)não pertence ao subespaço gerado por v1, v2 e v3.