Para cada um dos itens abaixo, determine se o vetor pertence a (isto é, ao subespaço gerado por e , onde
(a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão está pedindo pra gente descobrir se o vetor pertence ao espaço gerado pelos vetores , e . Isso significa que queremos saber se dá pra escrever como uma combinação linear desses três vetores. Vamos precisar usar álgebra linear, especialmente a parte que trata de sistemas de equações lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos montar uma equação que representa essa combinação linear. Queremos encontrar números , e tais que:
Substituindo os vetores, temos:
Passo 3
Agora, vamos distribuir os e igualar componente por componente:
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
x1 + x2 = 3 - x2 + x3 = 2 2x3 = 0 x1 + x3 = 5
Passo 4
Vamos resolver esse sistema passo a passo. Começamos pela terceira equação:
2x3 = 0 Rightarrow x3 = 0
Agora que sabemos que x3 = 0, podemos substituir esse valor nas outras equações.
Sim, o vetor v = (3,2,0,5) pertence ao subespaço gerado por v1, v2 e v3, já que existe uma combinação linear que o representa: x1 = 5, x2 = -2 e x3 = 0.