Para cada um dos itens abaixo, determine se o vetor v pertence a [v1, v2, v3] (isto é, ao subespaço gerado por v1, v2 e v3), onde v1=(1,0,0,1), v2=(1,-1,0,0), v3=(0,1,2,1)
(a) v=(3,2,0,5)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão está pedindo pra gente descobrir se o vetor v = (3,2,0,5) pertence ao espaço gerado pelos vetores v1 = (1,0,0,1), v2 = (1,-1,0,0) e v3 = (0,1,2,1). Isso significa que queremos saber se dá pra escrever v como uma combinação linear desses três vetores. Vamos precisar usar álgebra linear, especialmente a parte que trata de sistemas de equações lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos montar uma equação que representa essa combinação linear. Queremos encontrar números x1, x2 e x3 tais que:
x1 cdot v1 + x2 cdot v2 + x3 cdot v3 = v
Substituindo os vetores, temos:
x1 cdot (1,0,0,1) + x2 cdot (1,-1,0,0) + x3 cdot (0,1,2,1) = (3,2,0,5)

Passo 3

Agora, vamos distribuir os x e igualar componente por componente:
x1 cdot 1 + x2 cdot 1 + x3 cdot 0 = 3 x1 cdot 0 + x2 cdot (-1) + x3 cdot 1 = 2 x1 cdot 0 + x2 cdot 0 + x3 cdot 2 = 0 x1 cdot 1 + x2 cdot 0 + x3 cdot 1 = 5
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
x1 + x2 = 3 - x2 + x3 = 2 2x3 = 0 x1 + x3 = 5

Passo 4

Vamos resolver esse sistema passo a passo. Começamos pela terceira equação:
2x3 = 0 Rightarrow x3 = 0
Agora que sabemos que x3 = 0, podemos substituir esse valor nas outras equações.

Passo 5

Substituindo x3 = 0 na quarta equação:
x1 + 0 = 5 Rightarrow x1 = 5
Agora, temos x1 = 5 e x3 = 0.

Passo 6

Agora substituímos x1 = 5 na primeira equação:
5 + x2 = 3 Rightarrow x2 = 3 - 5 Rightarrow x2 = -2
Então, encontramos x2 = -2.

Passo 7

Por fim, vamos verificar a segunda equação com os valores encontrados:
- (-2) + 0 = 2 Rightarrow 2 + 0 = 2 Rightarrow 2 = 2
Tudo confere!

Resposta

Sim, o vetor v = (3,2,0,5) pertence ao subespaço gerado por v1, v2 e v3, já que existe uma combinação linear que o representa: x1 = 5, x2 = -2 e x3 = 0.

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