No espaço vetorial do Re^2, consideremos a seguinte base: B=v1, v2. Determinar o vetor coordenada de v in Re^2 em relação à base B sendo:
(b) v=(a, b), v1=(1,1), v2=(0,2).

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um vetor v = (a, b) no espaço R^2 e uma base B = v1, v2 onde:
  • v1 = (1, 1)
  • v2 = (0, 2)
Queremos encontrar as coordenadas do vetor v em relação a essa base B. Isso significa que vamos expressar v como uma combinação linear dos vetores da base B. Para isso, vamos precisar usar conceitos de espaços vetoriais e mudança de base.

Passo 2

Começamos escrevendo v como uma combinação linear dos vetores da base B:
v = x cdot v1 + y cdot v2
onde x e y são os coeficientes que queremos encontrar. Substituindo os valores de v1 e v2, temos:
(a, b) = x cdot (1, 1) + y cdot (0, 2)

Passo 3

Vamos simplificar a expressão acima realizando as multiplicações:
(a, b) = (x cdot 1 + y cdot 0, ; x cdot 1 + y cdot 2)
(a, b) = (x, ; x + 2y)

Passo 4

Agora, igualamos as componentes correspondentes dos vetores:
a = x b = x + 2y
Do primeiro equação, já temos que x = a. Vamos substituir esse valor na segunda equação para encontrar y:
b = a + 2y
2y = b - a
y = b - a2

Resposta

As coordenadas do vetor v = (a, b) em relação à base B são:
( a, dfracb - a2 )

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